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用相似證明畢氏定理 (英): 用相似證明畢氏定理
相關課程
- 這是一個直角三角形
- 它是直角三角形是因爲它有一個角是90度
- 或者說它有一個直角
- 現在我們來看這條最長的邊
- 你可以把它看作是
- 直角三角形最長的邊
- 也可以看作是直角的對邊
- 總之這條邊我們叫它斜邊
- 這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗
- 只不過就是直角三角形的最長邊
- 或者說是直角的對邊而已
- 但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單
- 我們不必說"他們說的是這條邊
- 這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了
- 現在我要做的是證明一個關係
- 一個非常著名的關係
- 一個關於直角三角形各邊長度之間的
- 著名的關係
- 我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C
- 我們假設長度是小寫的a
- 同時把邊BC的長度稱爲b
- 我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度
- 最後我們把斜邊的長度
- 即AB的長度 叫做c
- 現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係
- 在這之前我需要作一條輔助線
- 或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段
- 這條輔助線將和斜邊成直角
- 這並不難 我們準備叫這個點D
- D就是輔助線和斜邊的交點
- 如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線
- 你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下
- 這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你
- 更直接地作出輔助線
- 我已經把它轉了過來 現在斜邊
- 成爲了底邊
- 這是點B 這是點A
- 我們已經把三角形轉了過來
- 上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭
- 這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是
- 綁線的石頭會和斜邊形成直角
- 以上所做的都是爲了作出輔助線段CD
- 垂足就是點D 在這裡
- 我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子
- 我們就可以研究相似三角形的有趣關係了
- 現在一共有三個三角形 三角形ADC
- 三角形DBC以及原來的大三角形
- 我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係
- 首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形
- 因爲它們都有一個直角
- 三角形ADC的這個角是直角
- 如果這個角是90度
- 那麽這個角一定也是90度
- 它們是互補的因此它們的度數和必須是180度
- 所以兩個三角形都有一個直角
- 小三角形在這裡有一個直角
- 大三角形顯然我們已知它有一個直角
- 同時 它們還共有同一個角
- 角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它
- 我們可以把那些三角形寫下來
- 我從小的開始
- 三角形ADC 我給它塗上陰影
- 所以這就是我們要看的三角形 ADC
- 然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角
- 到沒有標記的那個角
- 這個直角並不對應那邊那個角
- 這個直角和大三角形的直角對應
- 所以 我們可以推出三角形ADC
- 和大三角形相似
- 我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A
- 到直角
- 我們不必再去看那個直角
- 所以三角形ADC相似於三角形ACB
- 三角形ACB
- 因爲它們是相似的 所以我們可以建立
- 它們邊的長度比關係
- 比如說對應邊的比例
- 我們知道相似三角形對應邊的
- 長度的比值
- 是一個常數
- 所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC
- 還有大三角形的斜邊
- AB
- AC比AB的值一定與AD
- 比上某一條邊的值相等
- 我們要在相似三角形上取
- 對應的點和邊
- 所以是AD比AC
- 你可以自己看看這些三角形
- 你會發現 邊AD是藍色角和紅色角
- 的夾邊
- 邊AD在這兩個角中間
- 同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角
- 的中間
- 所以這些邊是大三角形的
- 而這些是小三角形上的對應邊
- 如果有點不明白 看它們的標記字母
- 只要你把相似三角形的字母順序寫對了
- 你就能找對對應點
- AC和大三角形的AB對應
- 小三角形的AD和大三角形的AC對應
- 我們已知AC的長度是a
- 小寫的a
- 所以a代表AC
- 我們沒有給AD的長度標字母
- 但是我們知道AB的長度用c表示
- 我們沒有表示AD長度的字母
- 那麽就叫它d
- 所以d對應著那一段的長度
- 而c對應這整條斜邊的長度
- 我們把DB的長度稱爲e
- 這會讓證明簡潔一些
- 所以現在AD是d
- 於是我們得到關係a比c等於d比a
- 如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方
- a的平方等於c乘以d 也就是cd
- 這是一個有趣的結果
- 讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽
- 就是這個三角形
- 同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角
- 並且它們在這裡共享同一個角
- 所以根據相似判定 這兩個三角形
- 是相似的
- 也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角
- 再到未標記角的順序寫字母
- 所以三角形BDC相似於大三角形
- 我們要來觀察大三角形的對應點
- 我們從粉色角B開始
- 到直角C再到A
- BCA
- 從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序
- 和小三角形一樣的順序
- 現在我們要找一些關係
- 先來看小三角形的邊BC
- BC比上BA
- BC比BA
- 我們還是在比較兩個三角形的斜邊
- 於是BC比BA等於BD比上另一條邊
- 讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊
- BD在這裡是一條較短的直角邊
- 找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC
- 我們已知BC用字母b表示
- BC就是小寫的b
- BA是小寫的c
- BD根據之前我們定義的是小寫的e
- 所以這是小寫的e
- 交叉相乘 這裡是 b乘以b
- 我在很多影片中提到交叉相乘
- 兩邊都要乘以相應的分母
- 所以b乘以b等於ce
- 現在我們可以做一件有趣的事情
- 我們把這兩個等式加起來
- 讓我重新來寫一下
- b的平方等於ce
- 如果我們把左手邊加起來將會得到
- b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上
- ce
- 右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來
- 所以右邊等於
- c乘以d和e的和
- 給d加e套上括號
- 結果是什麽
- d是這條長度
- e是這段長度
- d加上e實際上同樣等於c
- 所以這就成了c
- c乘以c得到c的平方
- 現在我們得到了一個有趣的關係
- 我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方
- 讓我重新寫一遍
- 讓我用個新的顏色
- 剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍
- 所以我們剛才得到了a的平方
- 加上b的平方等於c的平方
- 這是一個任意的直角三角形
- 這兩個小三角形也是任意的
- 我們剛剛得到了直角邊的平方和
- 等於斜邊的平方
- 這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一
- 它以畢達哥拉斯的名字命名
- 不知道他是不是第一個發現這個定理的人
- 但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理
- 就是勾股定律
- 這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於
- 幾何學至關重要
- 並且它是所有三角運算的基礎
- 這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形
- 的兩邊 你可以輕松得到第三邊
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