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三角形性質的複習 (英): 比較中垂線、角平分線、中線與高。
相關課程
- 這節課我們來
- 複習下之前學過的
- 關於三角形的所有知識
- 首先我們學了什麽呢
- 讓我先畫些三角形
- 先在這畫一個
- 我們學的第一個內容是關於三角形三邊的
- 垂直平分線 先讓我們
- 來把這個邊平分
- 並畫一個跟此邊垂直的線
- 這條線就是
- 這條邊的垂直平分線
- 它平分並垂直這條邊
- 再畫一下這條邊的垂直平分線
- 我們知道這是這條邊的中間點
- 讓我們畫下垂直平分線 這個長度
- 等於這個長度
- 我們在這也畫一條線
- 這是這邊的中間點
- 再來作一條垂直的線
- 我們知道這個長度應該等於這兒的長度
- 我們有講過
- 所有這些垂直平分線相交於一點
- 坦白地講
- 這節課我們所要講的是
- 它們的確會相交於某一點
- 這個點到三角形所有頂點的距離
- 都相等
- 這個距離就是這個長度
- 也是這個的長度
- 因爲它到所有頂點的距離都相等
- 我們可以以此爲半徑畫一個圓它經過所有頂點
- 這就是爲什麽我們把這個點
- 這個垂直平分線相交的點叫做
- 讓我在這裡寫一下 以便大家跟上
- 垂直平分線 我們把這個點叫做
- 外心 因爲它是這個外接圓的圓心
- 外接圓是指外接這個三角形的圓
- 這是我們的外接圓
- 這個外接圓的半徑
- 外心和頂點間的距離
- 就是外接半徑
- 那是垂直平分線
- 然後就是下一個知識點
- 這節課的主要任務是
- 我們能夠區分這些不同的知識點
- 不被混淆
- 讓我在這再畫一個三角形
- 我們要考慮的下一個知識點
- 是三角形的內角平分線
- 我們不是討論垂直平分三角形的邊
- 我們討論的是平分這些角
- 我們可以平分這個角
- 我盡量去畫
- 這兩個角是相等的
- 我們可以把這個角平分
- 哦 我們可以畫的更好點
- 那麽 再畫一次 我可以把它這樣平分
- 如果我們把它平分了
- 這個角應該等於這個角
- 如果我平分這個角
- 那麽這個角應該
- 等於這個角
- 同樣的 我們已經證明過
- 它們會相交於某一點
- 這個點並非到所有頂點的距離都相等
- 而是到三角形的所有邊的距離相等
- 如果你從這點向每條邊作一條垂直線
- 這個距離會等於這個距離
- 也會等於那個距離
- 因此
- 我們可以以此爲半徑
- 畫一個與所有邊相切的圓
- 我們可以畫一個這樣的圓
- 因爲它在三角形的內部
- 這個圓被我們稱爲內切圓
- 這一點
- 也就是這些角平分線的交點
- 我們叫它內心
- 我們學的關於角平分線的另一個知識點
- 我們還需要一個三角形
- 讓我在這兒再畫一個三角形
- 然後畫一條角平分線
- 我要平分這個角
- 這個角等於這個角
- 讓我把這幾個點標記下
- 我們把這個點換一下顏色
- 我們叫它點A這是點B 這是點C 這是點D
- 我們知道
- 如果AC是角BAD的角平分線
- 那麽AB與BC長度的比值應該
- 等於AD和DC長度的比值
- 我們叫它角平分線性質定理
- 這一點就清楚了
- 接下來學的
- 讓我先再畫一個三角形
- 這是個對前幾節
- 我們學到的知識點的一個總體歸納
- 讓我在這畫個三角形
- 現在 不再畫垂直平分線
- 我先把講完的都標注出來這是角平分線
- 我接下來要講的是中性線
- 垂直平分線是平分並垂直
- 於三角形的邊的
- 它並不一定穿過三角形的頂點
- 但當我們說中性線時
- 是說這個點要平分每個邊
- 並且中性線要經過對角頂點
- 它們並不一定是與邊垂直的
- 讓我在這兒畫些中性線
- 這是這條邊的中間點
- 我們可以這樣畫一條中性線
- 注意它必須穿過頂點
- 這些線不必穿過頂點
- 而這條線不必與邊垂直
- 但是我們知道 這條線段
- 與那條線段的長度相等
- 在這 我們來畫一些中性線吧
- 這是中間點 看起來差不多
- 大概在這
- 這條線段的長度等於這條的長度
- 它要穿過頂點
- 但它並不一定垂直於邊
- 這條邊的中間點看起來
- 應該在這 就是這
- 所有的中性線都是共點的
- 它們都相交於這兒的這一點
- 這兒的這個長度等於這兒的長度
- 關於中性線有許多要注意的知識點
- 當你畫三條中性線時
- 它們相交的那個點
- 我們叫它重心
- 正如我提到的 你們可能在物理中學到它
- 如果這是個均勻的三角形 它的質量也是
- 那麽如果我們在空中抛起它或旋轉它
- 它就會圍繞著重心旋轉
- 這也意味著這個點就是它的質量中心
- 當它在空氣中旋轉時 會圍繞著這一點
- 如果它有某種旋轉
- 我想你們已經想到角動量
- 但更有趣的是
- 中性線會把這個三角形分成六個面積相等的三角形
- 這個三角形與那個三角形面積相同
- 我們在之前的影片中證明了這一點
- 這六個三角形的面積都是相同的
- 關於中性線我們學到的另一點是
- 重心所在的位置是中性線的
- 三分之二處
- 這條線段的長度跟這條線段
- 的長度的比值是二比一
- 或者說這是這條中性線的三分之二分點
- 這條線段是中性線的三分之二 這條線段是中性線的三分之一
- 比例是二比一
- 我們還學過另外相關的東西
- 這跟中性線關係不是特別大
- 但是個相關的概念
- 中間點三角形
- 中間點三角形是
- 選取每個邊的中間點
- 然後把它們連起來作成一個三角形
- 這個三角形就叫做中間點三角形
- 我們已經證明了
- 當你畫一個中間點三角形時
- 它把這個大三角形劃分出四個小三角形
- 它們不止有相同面積 而且
- 這四個三角形其實還是
- 全等三角形
- 不僅全等
- 我們還證明了這邊與這邊是平行的
- 這裡換些其他的顏色
- 這邊是平行的
- 其實我應該這樣畫兩個箭頭標注
- 那條邊與那條邊是平行的
- 這條邊跟這條邊是平行的
- 然後大家就知道這個邊是與這個邊平行的
- 這條線段的長度是它的一半
- 這就證明了它們四個三角形
- 完全是全等的
- 我們還學了
- 畫三角形的頂垂直線
- 這是中性線 中間點三角形
- 我要在這畫的最後一個三角形
- 我要從每個頂點畫起
- 這回我不從中間點畫起
- 我要畫一條垂直於對邊的垂直線
- 這裡我要畫條垂直線
- 它並不一定要平分對邊
- 同樣的 我們要畫一條垂直線
- 但並不一定平分對邊
- 再畫一條垂直
- 對邊但並不一定平分的頂垂直線
- 我們也證明了
- 這些就是三角形的頂垂直線
- 它們的交點也是唯一的
- 我想說明的是 這個特殊的點
- 並不一定在三角形的內部
- 對於垂直平分線也是一樣的
- 它們實際上可以在三角形的外面
- 這個交點叫做垂心
- 今天就到這兒了 希望這個影片對你們有幫助
- 因爲我知道它們很容易混淆
- 中性線與外心的的區別
- 外心與垂心的的區別
- 以及所有相關的知識點
- 希望這節課能幫助你們區厘清楚
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