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- 在第一個問題中
- 我們要求這條線段CE
- 的長度
- 已知的是 AB平行於DE
- 還有這兩條截線
- 構成了這兩個三角形
- 看看我們能怎麽做呢
- 首先你們可能想到的是
- 這兩個角是對尖角
- 所以它們相等
- 然後你們可能會想到
- ∠CDE和∠CBA是內錯角
- 因爲已知這個是平行線的截線
- 所以這兩個是內錯角
- 並且它們兩個相等
- 或者可以延長這條截線
- 就會得到一個
- ∠CDE的同位角
- 而這個是它的對尖角
- 不論哪種方法都能證出 這兩個角是相等的
- 所以我們已經知道這兩個三角形
- 它們有兩對對應角是相等的
- 這已經足夠證明相似了
- 事實上
- 我們同樣可以證明
- 這兩個角也相等 因爲它們是內錯角
- 但已經不必了
- 因此證出了 它們是相似的
- 其實我們也可以只通過內錯角來證明
- 這些角是相等的
- 但即使不用它
- 我們也足以證明它們是相似三角形了
- 已知這個三角形
- 我給它標上不同的顏色
- 以便頂點互相對應
- 因爲這對於角與角 邊與邊的對應關係
- 是十分重要的
- 這樣你們寫比例的時候就不會弄混
- 所以就知道了哪個對應哪個
- 也就是三角形ABC 相似於三角形
- 頂點A 對應這兒的頂點E
- 相似於頂點E
- 然後是頂點B
- 對應頂點D 所以是三角形EDC
- 這有什麽用呢
- 這說明 對應邊之間的比例關係
- 應該
- 是相等的
- 會是個常數
- 對應邊之間的比例
- 例如 BC的對應邊
- 是DC
- 通過我們剛剛對相似三角形的書寫方式
- 很容易看出
- 接著有BC對應DC
- 所以有 BC的長度比上DC的長度
- 在這兒
- 將等於
- 我們需要計算的CE的長度
- 那就是我們所要求的
- 我用BC 和DC 因爲這兩條邊已知
- 所以BC 比上DC 將等於
- 一個對應邊CE
- 這條的對應邊是CA
- 所以應該等於CA比上CE
- 對應邊分別是
- 最後一個字母和第一個字母 最後一個和第一個
- 所以是CA 比 CE
- BC長度已知
- BC長是5
- 我們還知道DC
- 長度是3
- 還知道CA或者說AC
- 是4
- 現在來求CE
- 那麽
- 有好幾種方法
- 可以交叉相乘
- 也就是簡單地 在等式兩邊同乘以兩個分母
- 得到 5倍的CE長
- 等於 3乘以4
- 也就是12
- 就得出
- CE等於12除以5
- 也就是二又五分之二
- 或者是2 4
- 所以這條邊是二又五分之二
- 就做完了
- 我們已經用相似關係算出了這條邊
- 利用到了各組對應邊之間的
- 比例相等
- 讓我們再看看這個問題
- 做這個
- 在這畫一條線
- 現在是另一個問題了
- 這裡 我們需要求出DE的長
- 再從頭開始分析
- 有這兩條平行線
- 同位角是相等的
- 所以這兩個角相等
- 又因爲這條線可以看作是截線
- 所以這個角
- 等於那個角
- 依舊是截線的同位角
- 所以在兩個三角形中
- 我是指三角形CBD 和三角形CAE
- 它們共有這個角
- 所以我們已經證明出了相似
- 這次也一樣 證明出兩對角相等就夠了
- 但其實我們能證明
- 這兩個三角形的全部的三對角
- 三組對應角
- 都是對應相等的
- 所以能證得全等
- 接下來這件事還是非常重要
- 那就是要確保
- 書寫相似三角形時
- 書寫的順序要對應
- 那麽三角形CBD 就相似於
- 不是全等於
- 三角形CAE
- 所以對應邊的比例
- 將是一個常數
- 例如 CD 與CE的比例
- 就等於
- CB的CA的比例
- 讓我們寫下來
- 就是 CB比上CA
- 等於CD比上CE
- 已知CB的值
- 是5
- 還知道CA的值
- 這兒我們得仔細點兒
- 它不是3
- CA的整個邊的長度是5+3
- 所以是8
- 還知道CD邊
- 應該是4
- 同樣 我們可以交叉相乘
- 就得到5倍的CE等於
- 8乘以4
- 等於32
- 所以CE等於32比5
- 另一種表達方式就是
- 六又五分之二
- 現在我們還沒完成 因爲題目問的不是CE的長
- 它問的是這邊的這部分
- 也就是DE
- 我們知道了整段的長度CE
- 是六又五分之二
- 所以我們需要計算的
- DE的長度
- 就是整個長度 六又五分之二減四
- 減去CD的長
- 所以是二又五分之二
- 六又五分之二減去四等於二又五分之二
- 所以做完了
- DE長度就是二又五分之二