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- 假設有一個三角形ABC 就像是這樣的
- 一個三角形 ABC
- 我只考慮它最基本的信息
- 有這麽一些條件
- 用來決定是否另一個三角形
- 與三角形ABC相似
- 我們已經知道 如果這個三角形全部的角
- 所對應的角度
- 都與三角形ABC相同的話
- 那麽 它們就是全等三角形
- 比如說 如果這個角是30度 這個角是90度
- 那麽顯然這裡的角就是60度
- 還有一個三角形 角度看起來也是這樣
- 雖然角度一樣 但顯然這個三角形比較小
- 但相應的角度都相等 所以這個角是30度
- 這個角是90度 這個角是60度
- 我們知道在這樣的情況下 三角形XYZ就和
- 三角形ABC相似
- 我們可以得到這個結論
- 是因爲兩個三角形對應的角度都相等
- 可以得出結論 三角形ABC和三角形XYZ相似
- 你必須使這兩個三角形的字母順序正確
- 以保證正確的角相對應
- 角Y對應90度角 角X對應
- 30度角 角A是30度角
- 所以A和X是相對應的兩個字母
- 角B和角Y都是90度 所以也對應
- 最後是角Z的這一組
- 所以 如果三組角都相等
- 但是你真的需要三組角嗎
- 如果我們只知道兩組角對應相等
- 可以嗎
- 嗯 當然可以了
- 因爲已知三角形中兩個角的度數 就一定知道第三個
- 舉個例子 有另一個三角形
- 和這個三角形相似 也是這個形狀的一個三角形
- 如果我告訴你這兩個三角形只有兩組角
- 對應相等
- 所以假設 假設這個角和
- 這個角相等 那裏的角和
- 那個角相等
- 這足以說明這兩個三角形相似嗎
- 當然 因爲在一個三角形中 如果你已知其中兩個角
- 就可以知道剩下的那個角度
- 這個角是30度 這個角是90度
- 則剩下的角是60度
- 不管在什麽情況下 無論已知的兩個角度是多少
- 從180度裏減去他們的角度 就是剩下的角
- 簡單來說 爲了證明相似 你不需要
- 證明三組對應角
- 都相等
- 你只需要兩組 證明兩組角對應相等
- 所以這就是我們證明相似的第一個方法
- 我們簡稱它爲角角相等
- 如果你可以證明兩組對應角相等
- 那麽這兩個三角形相似
- 舉個例子 我們假定一些數字 如果你證明
- 這個角是30度 並且知道在這個三角形中
- 這個角是90度的話
- 那麽這個三角形則相似於
- 那個三角形
- 並且你可以很方便地驗證第三個角的度數
- 辦法非常簡單
- 第三個角是60度 所以三個角
- 都是相等的
- 這就是相似的一個證明方法
- 關於相似 另一個特征就是
- 對應邊的長度比都相等
- 舉個例子 假設我們有另一個三角形
- 再畫一個三角形
- 我把這個它叫做三角形XYZ
- 假設我們已知AB邊和XY邊的長度比
- 即已知AB比XY的值
- 就是這條邊和這條邊的比值
- 請注意 我並沒有說它們是相等的 我只是說
- 它們是成比例的 我們現在關注的是比例
- 就是假設AB比XY
- 等於BC比YZ
- 同時也等於AC這一組
- 即等於AC比XZ
- 那麽 這是另一種辦法
- 可以證明兩三角形相似
- 所以如果三條邊與各自對應邊的
- 比值都相等
- 我們就可以得到兩三角形相似的結論
- 我們把它稱爲邊邊邊對應成比例
- 你不想把它和
- 邊邊邊對應相等則全等的理論混淆
- 所以這就是證明相似的基本公設
- 相似公設或公理
- 我們通過假設得到它們
- 我們將通過它們來解決問題
- 來證明其他東西
- 當我們討論全等時 邊邊邊意思是
- 對應邊長度都相等
- 邊邊邊 對於相似來說
- 指的是對應邊長成比例
- 舉個例子 如果在這裡的這條邊
- 假如說這條邊是10 不 讓我換個大一點的數
- 這條邊長是60 那麽這條邊是30
- 這條邊是30√3
- 我只是想讓這些數字恰好成倍
- 我們很快就能算出
- 這兩個30度 60度 90度角三角形的邊長比
- 我們假設三角形三邊長分別爲6 3 3√3
- 請注意 AB比XY 即30√3
- 除以3√3等於10
- BC比XY呢
- 30除以3等於10
- 那麽60除以6呢
- 就是AC比XZ
- 顯然也是10
- 所以從小三角形的三邊
- 到大三角形對應的三邊 我們只需要
- 給小三角形邊長乘以10即可
- 所以 他們並非對應相等
- 或者說相似不要求
- 邊邊邊對應相等
- 我們只需要將邊長按一定比例擴大
- 相同的比例變化
- 或者換一種方式思考
- 對應邊長之比相同
- 現在 假設我們有
- 另一個三角形
- 我這樣畫它
- 這裡有我們的結論 我不應該畫在這裡
- 讓我再畫一個三角形ABC
- 三角形ABC中 這是角A角B和角C
- 假設我們知道
- 從這條邊入手 當我們有另一個三角形
- 當我們看到另一個相似的三角形
- 我們知道XY
- XY等於AB乘以某個常數
- 所以 我可以寫在這裡 XY等於
- 某個常數乘以AB
- 咱們把XY邊畫得長一點
- 使得那個常數大於1
- 常數可以是一個很小的值 我們只是這樣假設
- 所以我們令XY較大
- 假設這裡是X那邊是Y
- 假設我們知道XY比AB等於
- 某個常數
- 如果你給這個等式左右同時乘以AB
- 你就能通過AB再次得到XY
- 所以 假設AB等於5 XY等於10
- 則常數就是2
- 2就是邊長擴大的比例
- 假設我們同時已知
- 角ABC和角XYZ相等
- 還缺一個要點
- 讓我再畫一個邊 這是Z點
- 假設我們已知角ABC等於角XYZ
- 假設我們知道
- BC邊和YZ邊的比值也等於這個常數
- BC邊和YZ邊的比值也等於同一個數
- 假設一組邊長是5和10 另一組是3和6
- 小三角形的邊長擴大二倍得到大三角形
- 這個三角形XYZ將滿足相似
- 這是唯一的一個三角形 如果
- XY和AB對應邊之間的比例
- 與YZ和BC對應邊之間的比例相等
- 並且其夾角也相等
- 則我們只能得到有且僅有的三角形
- 我們只能得到唯一的三角形
- 有且僅有一個
- 這條邊
- 和這一條邊
- 也會有同樣的比例
- 我們把這個稱爲兩邊對應成比例且夾角相等
- 我們再次想起了學過的SSS和SAS全等
- 但這裡的有所不同
- 這裡的SAS是這樣的
- 如果一組對應邊
- 兩條邊長之比
- 與另一組對應邊兩條邊長
- 之比相等
- 也就是說 在這兩個三角形中 AB和XY
- 和另一組對應邊
- BC和YZ邊比值相等
- 其夾角也相等
- 則兩個三角形相似
- 對於全等的SAS定理要求兩組對應邊
- 邊長相等
- 而這裡 我們只要求兩組對應邊
- 比例相等即可
- 現在我們試著應用一下SAS
- 讓我來畫一下 舉幾個例子
- 假設有一個三角形三邊長分別爲3 2 4
- 有另一個三角形
- 兩個邊的長度分別爲9和6
- 我們還知道兩三角形兩條邊的夾角相等
- 也就是說這個角等於這個角
- SAS定理告訴我們
- 這一定是一組相似三角形
- 對此我們相當確信 因爲
- 根據這些條件我們只能畫出唯一的一個三角形
- 這個三角形的三邊都將
- 以相同倍數擴大
- 所以實際上我們只剩下這一條長邊了
- 我們來把它以三倍擴大
- 這就是唯一可能出現的三角形
- 如果你使這條邊擴大三倍
- 這條邊也擴大三倍 並且其夾角
- 保持不變 這就是我們唯一可以畫出的三角形
- 我們知道它們是相似的
- 每條邊都擴大了三倍
- 所以我們畫出的這個三角形就是我們所說的相似形
- 這就是在相似中的SAS
- 我們不要求對應這條邊等於這條邊
- 這條邊等於那一條邊
- 我們只需要它們同時擴大相同的倍數
- 假設我們有這麽一個三角形
- 它看起來是這樣的 這條邊是9 這條邊是4
- 它們的夾角相等
- 你不會說它們相似因爲這條邊
- 擴大了三倍
- 而這條邊只擴大了兩倍
- 所以 你不能說
- 它們一定相似
- 如果有一個三角形一條邊長是9
- 一條邊長是6 但是無法確定
- 這兩個角是否相等
- 同樣 你也不能確定
- 你不知道這兩個三角形
- 是否一定相似
- 因爲你不知道夾角是否一定相等
- 你可能會想到會不會還有其他證明相似的辦法
- 當我們學習全等時 我們討論過AAS
- 但是想想看
- 我們已經證明了兩組對應角相等
- 則一定相似
- 所以爲什麽還需要一組對應邊
- 的比值呢
- 我們甚至還想到
- 全等證明中的ASA
- 同樣想想看 已經有了兩組對應角 這已經足夠了
- 所以我們不需要討論額外的那一條邊
- 在相似中 我們甚至根本無需這條規則
- 所以這些就是我們的相似定理
- 我想提醒大家 邊邊邊的規律在這裡是不同的
- 不同於全等中的邊邊邊定理
- 相似只要求對應邊成比例
- 不需要完全相等
- 這裡的邊角邊也與
- 全等中的邊角邊不同
- 它們有一定的聯係 但在相似中我們討論的是
- 邊與邊之間的比例 不要求確切相等