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用SSS證明半徑垂直於它所平分的弦 (英): 更多有關公設與定理之間的差異。用SSS的一個很酷的證明。
相關課程
- 上個影片中 我們學習了 如果有兩個不同的三角形
- 並且這兩個三角形的對應邊
- 都有相同的長度 我們稱它爲邊邊邊
- 則這兩個三角形全等 我也曾聽到過一些
- 把它當做公理或者公設的想法
- 但是我想聲明 有時你會聽到有人將它稱爲
- 邊邊邊定理 有時你也會聽到有人稱它爲
- 邊邊邊公理或者公設
- 我覺得是值得區分一下公理或定理的
- 那些公理或者公設的說法意味著
- 你從一開始就承認了這個假設
- 而定理的說法則意味著你要通過一些更基本的公理
- 或應用這些公理得到這個定理
- 所以當你在做一些核心假設時 你已經涉及到了數學的全部
- 你把你做的這些核心假設叫做
- 你把它們叫做
- 公理或者公設
- 通過它們你嘗試去證明定理
- 也許應用一個公理 我可以證明一些定理
- 人們會使用這些定理
- 然後通過這個公理 我可以證明另一個定理
- 然後應用這些理論
- 我可以證明另一個定理 這個示意圖說的就是這一點
- 這條公理可以得到這條定理
- 而這兩條定理可能引導我們得到這一條定理
- 而我們實際上通過它們構建了我們的知識體係
- 或者可以說我們圍繞著這些核心假設構建了數學
- 在一個幾何入門課中
- 嚴格意義上講 我們無法證明邊邊邊定理
- 我們也沒有完完全全地證明邊邊邊定理
- 這就是很多幾何學家稱我們把它當做
- 一個公理或公設的原因
- 我講解這些的目的在於
- 我想讓大家了解
- 定理與公理公設的差異
- 爲了讓你們不再感到迷惑爲什麽它就是直接給定的
- 但是在很多書裏 在我看到的很多書上
- 他們都把它稱爲邊邊邊定理
- 即使他們從未嚴格證明它
- 他們確實只是假設它成立
- 所以實際上這更像是一個公理或者公設
- 在他們的方法中 我們只是采用
- 我們所假設的東西然後去探索 我們只知道
- 這是正確的 我們把它視爲理所應當的
- 我想告訴大家 我們已經做了一些很有用的工作
- 假設我們有一個圓
- 假設我們有一個圓
- 我們可以通過這個圓做很多有用的工作
- 假設圓心在這裡的A點處
- 假如說這裡有一條弦
- 一條圓中非直徑的弦
- 我在這裡畫一條弦
- 我在圓中畫一條弦 這是一個線段
- 與之對應 假設我還有一條線
- 平分這條弦
- 從圓心開始的一條線段平分這條弦
- 我可以把它稱爲某一條半徑
- 從圓心到圓上的那一點
- 我們從圓心出發
- 當我假設它平分這條弦的時候
- 我剛剛提到的問題出現了
- 當我說平分這條弦就意味著把這條弦分成了相等的兩半
- 這就意味著這半邊弦的線段長度
- 與這半邊弦的線段長度相等
- 我想做的就是 我設定這麽一個圓
- 這個半徑平分這條弦
- 而我的目的就是證明
- 半徑以直角平分這條弦
- 我再來標注幾個點
- 我們把這個點稱爲點B 這個爲點C 這個爲點D
- 我想證明線段AB
- 與線段CD垂直
- AB垂直於CD
- 就像你想到的一樣 我準備
- 用邊邊邊來證明它 無論你叫它
- 邊邊邊定理還是公理或公設
- 開始證明吧 咱們會這麽考慮
- 正如你所想的 如果我想用邊邊邊 必須有三角形
- 現在沒有三角形可以用
- 但我可以構造三角形
- 我可以根據已知條件來構造三角形
- 舉個例子 我可以構造這條半徑
- 所以我們可以假定這條半徑是直徑的一部分
- 或者只是圓的半徑
- 同樣我也可以對AC線段做出這些假定
- 因爲它也是一條半徑
- 所以它們長度相等
- 長度都是圓的半徑
- 或者我們可以說AD等於AC
- 或者它們長度相等
- 從問題已知條件我們知道
- 從問題已知條件我們知道
- 這條線段與這條線段長度相等
- 我們可以在這裡加一個點來說明
- 我把這點稱爲點E 從已知條件中我們知道
- CE等於ED 或者說它們長度相等
- CE和ED長度相等
- 同時我們也知道左邊的這個三角形
- 和右邊的這個三角形
- 有一條公共邊EA 很顯然EA等於EA
- 顯然公共邊相等
- 這條邊被兩個三角形公用
- 這兩個三角形是相鄰的
- 所以我們看到這種情況
- 兩個不同的三角形
- 對應邊相等
- 這條邊等於這條邊
- 這條邊等於那條邊
- 同時很顯然AE等於AE
- 它是一條公共邊
- 它被兩個三角形共用
- 所以根據邊邊邊
- 我們知道三角形ABC
- 與三角形AE 噢 抱歉
- 不是三角形ABC 是三角形AEC 抱歉
- 你們知道 我應該寫的是這個三角形
- 通過邊邊邊 我們知道三角形AEC
- 與三角形AED全等
- 但是這個結論有什麽用呢 它對證明
- 我們的定理有什麽幫助呢
- 它實際上起了什麽作用呢
- 有一點很棒 就是一旦我們知道這兩個三角形全等
- 我們就可以知道
- 所有對應角角度相等
- 尤其我們可以得到這兩個角的角度相等
- 即角CEA與
- 角DEA角度相等
- 這一點之所以很棒
- 是因爲我們可以觀察到這兩個角
- 它們互爲補角
- 它們互爲鄰角並且有一個平角的外角
- 因此角CEA和角DEA互補且相等
- 因爲它們互補 我們可以計算出
- 角CEA的度數
- 加上角DEA的度數等於180度
- 同時它們是相等的 所以用
- 角DEA的度數加角CEA的度數
- 用二倍的角CEA來替換
- 二倍的角CEA等於180度
- 給等式兩邊同時除以2
- 我們可以得到角CEA的度數爲90度
- 它和角DEA度數相等
- 因爲它們兩角對應相同
- 我們知道這個角是90度
- 所以我可以標上直角符號
- 這個角是90度
- 因爲半徑ABE平分了弦CD
- 所以這裡産生了一個90度角
- 我們證明了
- 它們是相互垂直的
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