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三角形中線與重心 (英) : 重心位於每條中線的2/3。
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- 我想快速的介紹一下三角形的中位線
- 同時探求他們有趣的的性質 想想 這些性質會幫助
- 我們解決未來的問題 讓我在這裡畫一個
- 畫一個隨意的三角形 現在看起來很好了
- 一個三角形的中位線 我們可以看到這個中位線
- 一個三角形有三條中位線 中位線僅僅是一條線連接
- 三角形的一個頂點和對面的邊的中間點
- 對面邊的中間點就在這裡
- 這個長度等於這個長度 所以這就是中位線
- 足夠準確了
- 當然我們有三個頂點 我們會有三條中位線
- 我們從這個頂點開始 我們要連到對面邊
- 的中間點 看起來就在這裡
- 所以這條藍色的線是另外一條中位線
- 這不是一條非常直的線 但是大家明白就好
- 我們也可以從這個點開始 就在這裡
- 畫一條線連接這個中間點和對面邊的中間點
- 對面邊的中間點就在這裡
- 我們畫一條線 每一條線
- 我都可以畫一條比那更直的線
- 我們畫 只要了解這些概念就好了
- 這些是這個三角形的中位線
- 接下來關於中位線的
- 是三條中位線相交於一點
- 這是一個確定的性質
- 三條中位線相交的點叫做重心
- 這個點被叫做重心 這個點被叫做重心
- 如果這裡有一個實體的三角形 假設是用鐵做的
- 如果你想投擲它 或者在你投擲它之前
- 重心實際上會是重量的中心
- 假設這是一個鐵三角形
- 就在這兒有一個鐵三角型
- 它的重心就在這裡
- 然後這個鐵三角型重量的中心就會在重心這裡
- 假設密度是均勻的 如果你真的投擲了
- 它會旋轉 它會繞著這個點旋轉
- 假設它有旋轉運動
- 圍繞著重心 圍繞著重量的重心
- 但是這個影片的目的不是爲了集中在物理上
- 投擲這個鐵三角型
- 這裡的目地 是我想要告訴你們中位線的性質
- 這個性質是那個距離 你隨便挑一條中位線
- 從重心到對面邊重心的距離
- 這個距離將會是這個距離的一半
- 如果這個距離這裡是A 那麽這個距離就是2A
- 或者用另外一種方式去表達這個
- 這個距離是這條中位線長度的三分之二
- 這個距離是整條中位線長度的三分之一
- 讓我們來證明一下吧
- 這樣你們就心悅誠服了
- 爲了證明這個 讓我隨便畫一個三角形
- 我會做一個2維的三角形 我還會做3維的
- 至少在我的大腦裏 這樣會使計算
- 會使計算變的更簡單些
- 一般來說 無論你什麽時候有
- 無論什麽時候你有一個N維的
- 你插入一個N+1的維中
- 會使數學變的簡單些
- 那就是我們所做的四面體問題
- 你實際上可以插入一個4維
- 那樣會是數學變的更簡單一些
- 這樣會更難視圖化出來 所以我就不那樣做
- 所以讓我們畫一個隨意的三角形
- 假設這裡有一個頂點 這裡一個頂點 這裡一個頂點
- 我沒有對三角形做任何的假定
- 我沒有說這是等腰三角形 等邊三角形 或者其它的
- 這僅僅是一個隨意的三角形
- 讓我們假設它的坐標 假設這個坐標是
- 我把這條軸看成X軸 這是X軸 這是Y軸 這是Z軸
- 我知道有些人習慣於調換這兩個坐標軸
- 但是這沒關係 讓我們標出這些點的坐標
- A在X軸上 A 0 0
- 這個點 0 B 0
- 這個C點0 0 0
- 如果你連接這些點 你會得到一個三角形
- 你有一個這樣的三角形
- 現在這個三角形的重心 尤其在三維空間中
- 這個重心的坐標是
- 三個頂點坐標的平均值
- 這個重心的坐標
- 是三個頂點坐標的平均值
- 所以這裡這個坐標是
- X方向的坐標是 0 0 0+A
- 三個坐標加起來是A 被三除
- 得到A除以三
- Y方向的坐標是B+0+0 等於B 但我們也要除三
- 我們對Z做同樣的事情
- 平均值是C除以3
- 我不想再多證明什麽了 你們可以自己去確認
- 但是它是平均值 找出這條線
- 這條線 這條線是什麽
- 是這個三角形的重心或者質量的中心
- 如果它有一點重量
- 是這些坐標的平均值
- 現在我們要做的就是利用這些信息
- 用這個坐標
- 和距離公式來比較
- 讓我們來比較距離
- 從橙色的點一直下到這裡 一直到黃點
- 記住這裡這個點 這就是那個點
- 這個的中位
- 會是這兩個點的平均值
- 所以X坐標是0+A
- B+0除以2等於B除以2
- 這個點沒有Z坐標 所以Z坐標爲0
- 0+0除以2等於0
- 現在我們知道這個點 那個點 那個點的坐標
- 所以我們可以計算出黃色線的距離
- 我們可以計算出橙色線的距離
- 讓我們來計算橙色距離
- 是等於根號下的
- 那個橙色距離等於根號下的
- 我們要計算出每個點差距的平方
- 這是A除以3減去0 然後平方
- 得到的是A的平方除以9
- B除以3減去0 然後平方 除以九
- C除以三 減去C 得到負2分之三
- 我們要平方那個 得到一個正數
- 4分之9的C平方 我做對了嗎
- C除以三 1/3 減1是負2/3 得到2/3C
- 把它平方 得到4/9 C的平方
- 這就是黃色線的距離 讓我們來計算
- 其實我們可以
- 我們把這些表達的更簡單一些
- 這個和根號下A平方+B平方+4C平方除以9的平方根
- 是一樣的
- 9的平方根 就等於 就等於3
- 讓我們對黃色距離用同樣的方法計算
- 我們有A除以2減去A除以3
- 1/2減去1/3和
- 3/6減去2/6是一樣的 得到1/6 A平方分之36
- B/2減去B/3等於B/6 再平方一下
- 得到B平方除以36
- 最後得到0-C除以3
- 平方 得到C平方除以9
- 我們得到了一個公分母
- C平方除以9和4C平方除以36是一樣的
- 所以我們可以改寫爲根號下的
- A+B平方+ 4C平方除以9
- 所以可以得到這裡的這個距離
- 如果讓橙色的距離乘以1/2
- 我將會得到 如果乘以1/2
- 或者除以2 如果乘以1/2
- 會得到黃色的距離
- 所以這個是那個距離的兩倍
- 我們在最普通的情況下證明了這個
- 我們沒有對三角形做任何假設
- 記住重心的那個性質
- 中性線的交點
- 那個交點會在每個中位線的2/3處
- 遠離頂點2/3中位線長度 或者遠離
- 對面邊中間點1/3中位線長度
- 我們可以使用這個性質
- 我們可以在很多問題上使用這個性質
- 總之 我希望你們覺得這個有趣
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