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Linear Algebra: Simpler 4x4 determinant: Calculating a 4x4 determinant by putting in in upper triangular form first.
相關課程
- 我有一個4×4矩陣A 這兒
- 讓我們看看怎麽去算出它的行列式
- A的行列式
- 在做這個之前
- 以我們過去的方式去做
- 你沿著某一行
- 或者是某一列去做
- 你會發現
- 這兒沒有0
- 因此這沒有很好的行或列去算行列式
- 我們可以沿著這行通過余子式來做\N【譯者注：同樣，這裡用了“余子式”】
- 但是這變得很複雜
- 你必須算出4個3×3矩陣的行列式
- 每個3×3矩陣的行列式
- 都是由3個2×2矩陣的行列式得出來
- 這個過程很麻煩
- 讓我們看看這是否能用
- 前兩集影片的結論
- 來簡化這個過程
- 好了 其中一個結論就是行變換
- 或者你做減法 讓我這樣來寫
- 如果你用這個來替換第j行
- 第j行減去一個常數乘於第I行
- 這並不改變A的行列式
- 我們知道這是前兩集影片的知識
- 因此這是一個很好的結論
- 我們可以做這樣的行變換
- 它不會改變行列式的值
- 另外一個結論就是
- 上三角矩陣
- 你可以很好的算出它們的行列式
- 那麽上三角矩陣是怎樣的呢？
- 讓我們回顧一下
- 上三角矩陣 對角線以下的元素
- 因此這個對角線
- 讓我這樣把它畫出來
- 這些都是非零的元素
- 噢 它們也可以爲0
- 這是上三角
- 對角線以下的所有元素都爲0
- 對角線以上的所有元素可能都不爲0
- 但是你不知道
- 但是它們都是非零的元素
- 所有紅顏色的地方都是非零的
- 所有綠顏色的地方都是0
- 這個我在課堂上沒講過
- 但是也有下三角矩陣
- 大家猜猜它是怎樣的
- 主對角線以上的元素都是0
- 這是主對角線 一直下去
- 所有的這些元素都可能是非零的
- 所有的這些都是非零的
- 對角線以上的元素都爲0 就像這樣
- 我們在上集影片知道
- 這個的行列式等於
- 對角線上所有元素的乘積
- 這很容易就能算出行列式
- 我們可以用同樣的結論
- 上集影片得出的
- 這個也適用於下三角矩陣
- 它的行列式
- 也等於對角線上這些元素的乘積
- 我不會去證明它
- 但是你可以用同樣的結論
- 我們在上三角矩陣那堂課得出的結論
- 假設這樣 這個的行列式等於
- 這些數的乘積 我可以做些行變換
- 也不會改變它的行列式
- 可能這是計算行列式的一個簡便方法
- 就是把它化簡成上三角的形式
- 然後讓對角線上的元素相乘
- 讓我們來做
- 我們想要算出A的行列式
- 讓我把A重寫在這
- 它是矩陣[1,2,2,1;1,1,2,4;2,2,7,5;
- 現在讓我們把它化成上三角的形式
- 讓我們替換掉第二行
- 第一行不變
- 還是1 2 2 1
- 讓我們替換掉第二行
- 用第二行減去第一行
- 第二行減去第一行就是
- 1-1等於0
- 因此這裡常數就是1
- 1-1等於0
- 2-2等於0
- 4-2等於2
- 2-1等於1
- 現在替換第三行
- 用第三行減去2倍的第二行
- 因此2-2<i>1=0</i>
- 7-2<i>2等於3</i>
- 5-2<i>2等於1</i>
- 2-2<i>1等於0</i>
- 讓我在這用更好的顏色寫出來
- 我用粉紅色
- 讓我們替換掉最後一行
- 用最後一行加上第一行
- 你也可以最後一行減去-1乘於第一行
- 這等價於最後一行加上第一行
- 因此-1+1=0
- 4+2等於6
- -6+2等於-4
- 然後3+1等於4
- 因此就是這樣的
- 這兒有兩個0
- 因此我想交換某些行
- 因此讓我來交換某些行
- 如果我們換行 結果又是什麽呢？
- 我們來交換中間兩行玩玩
- 好了 不是爲了玩
- 因爲這是一個軸元
- 我不應該說這是一個軸元
- 我們想要把它化成上三角的形式
- 因此在這我想要一個非零元素
- 這是0 我想要把它移下去
- 因此第一行還不變
- 還是1 2 2 1
- 我想要最後一行不變
- 它是0 6 -4 4
- 我要交換這些數
- 因此這行就是0 3 1 0
- 這行就是0 0 2 1
- 現在 我這樣交換可以嗎？
- 可以這樣交換
- 但是要記住 當你交換兩行時
- 交換後矩陣的行列式等於
- 負的原矩陣的行列式
- 因此如果你交換這兩行
- 這個行列式就等於負的這個行列式
- 當你交換兩行時
- 行列式變號
- 我們知道這個
- 這個我們在剛開始的一個影片裏學過
- 改變行列式的一種
- 現在 我們想要做什麽
- 把這個化成上三角的形式
- 這個就變成0
- 這個也變成0
- 保持其它數不變
- 就有1 2 2 1
- 這是0 3 1 1
- 第三行是0 0 2 1
- 現在是最後一行
- 讓我替換掉它
- 用最後一行減去3倍的這行
- 讓我這樣來寫
- 繼續把負號寫下來
- 因此我要替換掉最後一行
- 用最後一行減去2倍的第二行
- 想要化成0
- 因此0-2<i>0=0</i>
- 6-2<i>3等於0</i>
- -4-2<i>1等於-6</i>
- 然後4-2<i>0等於4</i>
- 我們差不多就做到這
- 現在我們想把這個0換下來
- 因此替換掉這個元素
- 現在保持前三行不變
- 讓我看看是否能夠更整齊點
- 第一行是1 2 2 1
- 第二行是0 3 1 0
- 第四行是0 0 2 1
- 我們要做的是這個矩陣
- 我還沒有寫出第四行
- 當然 負的這個等於
- 原矩陣的行列式
- 因爲我們交換了那兩行
- 但是讓我們來替換掉最後一行
- 用最後一行加上3倍的第三行
- 因此我們就得到0+3<i>0=0</i>
- 0+3<i>0等於0</i>
- -6+3<i>2等於0</i>
- 4+3<i>1等於7</i>
- 就像這樣 我們就可以得到
- 一個上三角矩陣的行列式
- 這就等於
- 這些數的乘積
- 不要忘了負號
- 讓我們把負號寫在這
- 然後這加上個圓括號 就像這樣
- 這就是
- 這些對角線上元素的乘積
- 就是1<i>3<i>2<i>7</i></i></i>
- 結果就是6<i>7 等於42</i>
- 因此這個矩陣的行列式就是-42
- 這做起來很快 這是個很快的捷徑
- 這實際上也說明了
- 這樣計算起來更加有效率
- 用這些結論
- 先把它化成上三角的形式
- 然後 你知道 如果你交換行
- 記住必須在行列式前加個負號
- 然後再沿著對角線上的元素相乘
- 我們這樣做了
- 就得到行列式等於-42
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