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Proving Vector Dot Product Properties: Proving the "associative", "distributive" and "commutative" properties for vector dot products.
相關課程
- 在這個影片中 我要證明一些
- 關於點積的基本性質
- 你可能會感覺到
- 我講的東西有些簡單
- 坦率地說 確實是這樣
- 我之所以這麽做有兩個原因
- 其一 這類性質
- 你會在線性代數課上
- 經常被問到
- 但更重要的是
- 現階段我們正在建立
- 關於向量的理論基礎
- 有些東西是不能隨便假設的
- 你必須親自證明出所有的東西
- 我第一個要證明的是
- 關於點積的性質
- 當對向量做點積時
- 如果用v點乘w
- 乘積的先後順序
- 沒有關係
- 我就要證明它等於w點乘v
- 應該怎麽做呢？
- 我們用關於向量證明的
- 一般模式
- 就是具體寫出這些向量
- v就是[v1,v2,……,vn]
- 這個就是v
- 令w等於
- 向量[w1,w2,……,wn]
- v・w是多少？
- v・w等於――
- 我換一種顏色―― v1乘以w1
- 加上v2乘以w2 加到vn乘以wn
- 很好
- 那麽w・v是多少呢？
- 對於w・v―― 根據定義
- 就是將分量的乘積相加
- 我寫出來
- 從而就能得出結果
- 它等於w1v1+w2v2
- 加到wnvn
- 顯然二者相等
- 因爲如果將二者的
- 第一項作比較
- 它們顯然是相等的
- 即v1w1=w1v1
- 我可以這麽說是因爲
- 實數的交換律是成立的
- 這裡我們處理的是向量
- 我們處理的是這種怪異的乘法
- 稱作點積
- 但現在我可以肯定地說它們是相等的
- 因爲這就是一般的乘法
- 它滿足交換律
- 我拼寫一下“交換律”
- 我們曾經學過―― 我不知道什麽時候學的
- 可能是二三年級
- 反正它們是相等的
- 並由此可得
- 這兩個向量的點積也相等
- 你可以通過交整流量的順序
- 來改寫每一項
- 這都是基於純量乘法的性質
- 或者說是實數乘法的性質
- 由此我們知道這兩項是相等的
- 或者說這兩項相等
- 我們已經證明了在做點積時
- 向量的先後順序不影響結果
- 下面我們要考慮
- 點積是否滿足
- 分配律
- 我再定義另一個向量x
- 另一個向量x
- 你們一定知道我將如何定義它
- 即[x1,x2,……,xn]
- 現在要搞清楚點積
- 是否像我期望的那樣滿足分配律
- 如果用v加上w
- 然後整體乘以x
- 首先
- 點乘的先後順序沒有關係
- 我就這麽寫 也可以用x點乘這個和式
- 這都沒有區別
- 因爲剛剛證明了交換律
- 如果分配律成立
- 那麽它應當
- 等於v・x+w・x
- 如果這些都是數值
- 並且這是一般的乘法
- 那麽可以用x乘以括號裏的每一項
- 就像我寫的一樣
- 我們來證明點積是否滿足交換律
- v+w是多少？
- v+w等於――
- 就是將對應分量相加
- 即v1+w1 v2+w2
- 直到vn+wn
- 這就是上面那項
- 然後將它乘以向量[x1,x2,……,xn]
- 得到什麽？
- 我們得到
- 式(v1+w1)x1+(v2+w2)x2
- 加到(vn+wn)xn
- 我就是做了這兩項的點積
- 就是將對應分量相乘
- 然後相加
- 這就是點積
- 這是(v+w)・x
- 我寫下來
- 這是(v+w)・x
- 下面我們處理這一項
- 我寫在這
- v・x是多少？
- 我們見過v・x
- 就是v1x1
- 它們不是向量
- 它們都是分量
- 加上v2x2 加到vnxn
- w・x是多少？
- w・x等於w1x1+w2x2
- 加到wnxn
- 將這兩項加起來得到什麽？
- 注意 這是兩個純量相加
- 這是個純量 這是個純量
- 我們不在做向量加法
- 這是一個純量
- 這是一個純量
- 將它們相加得到什麽呢？
- v・x+w・x等於
- 式(v1x1+w1x1)+(v2x2+w2x2)
- 加到(vnxn+wnxn)
- 我知道這很無聊
- 但你應該能看出
- 我們正在處理的是實數的運算
- 可以把x提出來 然後得到什麽？
- 我寫在這
- 它等於―― 我們把x提出去
- 提出因子x
- 得(v1+w1)x1+(v2+w2)x2
- 加到(vn+wn)xn
- 可以看出
- 它與這個式子相等
- 從而我們就證明了
- 這個表達式
- 與這個表達式相等
- 或者說分配律
- 對於點積同樣適用
- 我知道這很簡單
- 究竟爲什麽還要講這些呢？ 我這麽做是因爲
- 我們要建立完整的體係
- 不能光靠假設
- 這個證明是十分顯然的
- 一般地 當我做向量加法
- 和純量乘法時
- 我沒有證明
- 但事實上是應該加以證明的
- 其實你完全可以證明交換律
- 或者對於純量乘法
- 可以證明它的分配律
- 方法和上述方法一樣
- 許多教材中
- 都把它們作爲學生的課後練習
- 因爲這很簡單
- 作者認爲不值得贅述
- 我還要介紹最後一個性質
- 即結合律
- 我來告訴大家
- 如果取某個純量
- 用它乘以某個向量v
- 然後用它跟w做點積
- 如果通常的乘法交換律
- 是成立的
- 則它應當等於――
- 這依然有個問號
- 因爲我還沒有證明
- 它應當等於c(v・w)
- 我來證明它
- c乘以向量v是多少
- cv等於
- 向量[cv1,cv2,……,cvn]
- 然後點乘向量w 我們已經知道怎麽算
- 結果是多少？
- 等於這項乘以w的第一項
- 即cv1w1加上這項乘以w的第二項
- 即cv2w2
- 直到cvnwn
- 很好
- 這是左邊的結果
- 我們來算右邊
- v・w是多少？
- 我寫在這
- 我們做過很多次了
- 它就等於v1w1+v2w2+……+vnwn
- 我已經懶得算了
- 我想大家也看膩了
- 但是作爲練習 這還是有必要的
- 如果要求你計算
- 你必須能夠算出來
- 那麽c乘以這項是多少呢？
- 如果用純量乘以這項
- 這與用純量
- 乘以這一項相同
- 我是在用一個純量乘以――
- 我們根據
- 關於實數運算的
- 分配律得到
- 得到cv1w1+cv2w2
- 加到cvnwn
- 從而看出這項等於這項
- 因爲這項等於這項
- 現在最困難的部分是――
- 我記得當我第一次接觸線性代數時
- 我發現當教授
- 要進行證明的時候
- 我就感覺到很麻煩
- 因爲這看起來太顯然了
- 觀察它們的分量之後
- 就會發現這太顯然了
- 它能夠轉化成
- 每個分量相乘 然後加和
- 這就是結合律
- 它很顯然―― 還要證明什麽呢？
- 我花了些時間
- 把剛才的過程寫下來
- 教授們不想我們做什麽驚天動地的
- 他們僅要求我們證明
- 當處理每個分量的時候
- 所需要做的就是假設關於實數的
- 分配律 結合律 交換律都成立
- 從對於向量的點積運算
- 就可以用相似的方法
- 證明相同的性質
- 我希望你能發現它的用處
- 在下節課中
- 我們會用這些工具
- 來證明一些關於向量的
- 一些有趣的性質
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