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基礎複變分析 (英): 阿岡圖、規模、引數、模數、指數型式
相關課程
- 這期影片我想做的是
- 確保你們理解複數的表示方法
- 以及使它形象化的方法
- 你們可能已經熟悉複數的概念了
- 我們稱其爲z
- z是我們用來表示複數的一個變量
- 假設z=a+bi
- 我們稱它爲複數
- 因爲它有一個實部
- 以及一個虛部
- 你們要熟悉這個符號
- 有時你們會看到有人這樣寫-
- 給出z的實部
- 這是個函數 當你輸入一個複數
- 它會輸出複數的實部
- 這個例子裏實部是a
- 還有另一個函數 稱爲虛部
- z的虛部
- 輸入複數
- 它會輸出虛部
- 虛部是表示i被擴大了多少倍
- 本例中是擴大了b倍
- b是一個實數
- 但它表示的是
- 這個複數z中
- i被增大的倍數
- 有一種使複數看起來更形象的方法
- 實際上當我們討論數的根時
- 這種方法很有幫助
- 尤其對複數根而言
- 該方法用到了阿根圖
- 阿根圖
- 這個就是
- 看起來像一個坐標軸
- 其實就是一個坐標軸
- 但是它沒有x軸和y軸
- 而是用實軸和虛軸代替
- 在z=a+bi的例子中
- 我們會把它當成位矢畫出來
- 在橫軸上是實部
- 假設這裡是a
- 然後把虛部
- 在縱軸或者說虛軸上表示
- 假設這裡是b
- 我們要在阿根圖上把向量z
- 當做位矢表示出來
- 它從0開始並且有個尖端
- 位於坐標(a,b)
- 所以這個-- 這個就是我們的複數
- 這就是在阿根圖上
- 表示出來的複數a+bi 也就是z
- 如果你們這樣畫
- 當你們把複數當成一個位矢時--
- 如果你們熟悉極坐標
- 你們很可能會想
- 我不一定要把這個複數
- 在坐標軸上表示成a+bi這種形式
- 或許可以表示成某個角度
- 這兒的某個角度-- 我們稱它爲φ
- 以及某個距離 --稱之爲r
- 它表示向量的大小
- 你們確實可以這樣表示
- 如果給出角度和距離
- 也可以在複數平面上確定這個點
- 實際上這被稱爲
- 複數的輻角
- 這個是大小
- 或者說是模量
- 也就是複數的絕對值
- 那麽我們來想一下
- 我們考慮一下
- 該怎麽計算這些值
- r 也就是模量或者說大小
- 它被表示爲z1的大小或者絕對值
- 它是多少呢？
- 這裡有個直角三角形
- 這裡有個直角三角形
- 這個邊是b 長度爲b
- 底長度是a
- 所以要計算r
- 可以運用勾股定理
- r^2=a^2+b^2
- 也就是r等於
- 根號下a^2加b^2
- 如果想計算這個輻角
- 我們要計算輻角
- 它是多少呢？
- 我們思考一下
- 已知b和a 三角函數
- 是怎麽處理角的對邊
- 和鄰邊的呢？
- 我把著名的sohcahtoa寫出來
- 根據sohcahtoa 正切是對邊除以鄰邊
- 所以角的正切
- 也就是複數輻角的正切
- 它的正切等於
- 直角三角形對邊除以鄰邊
- 也就是b除以a
- 如果我們想求出這個輻角
- 有φ等於arctan(b/a)
- 也就是b/a的反正切
- 現在 如果想表示--
- 假設有一個複數
- 給出了其輻角和--
- 假設給出了--
- 我們知道其模量和輻角
- 這兩個是已知的
- 我們該怎麽進行逆運算呢
- 如果已知實部是a
- 虛部是b
- 我已經展示給你們如何
- 求得模量和輻角了
- 但如果給出來模量和輻角 能反推回去嗎？
- 如果已知r和φ 要求a
- 也就是在已知角度和直角三角形斜邊
- 的情況下 計算其鄰邊
- 鄰邊除以斜邊得到餘弦
- 所以有輻角的餘弦等於r--
- 等於鄰邊除以斜邊
- 也就是a/r 兩邊同乘r
- 得到rcosφ=a
- 對於b做相同的運算
- 利用正弦-- 對邊除以斜邊
- sinφ=b/r
- 也就是b除以模量
- 兩邊同乘r 得到rsinφ=b
- 那麽應該怎麽表示複數呢
- 那麽複數z--
- 複數z等於其實部
- 也就是rcosφ
- rcosφ加上虛部乘以i
- 我們用綠色寫--
- 加上rsinφ×i--
- 這就出現了
- 一件很有趣的事
- 如果你們曾見過歐拉公式
- 我們把r當做因子提出來
- 它就等於
- r乘以cosφ加上--
- 把i提到了前面
- 加上isinφ
- 這項是什麽？
- 如果你們看過
- 我做的微積分係列中的
- 泰勒級數的影片--
- 其實它是數學中最深奧的
- 結果之一
- 至今它仍使我打寒戰-- 這就是歐拉公式
- 它是-- 或者由歐拉公式
- 它也就等於--
- 我們是通過觀察
- e^x的泰勒級數展開式
- 以及cosx和sinx的泰勒級數展開式
- 得出的結論
- 這式子等於-- 如果我們討論弧度--
- 等於e^(iφ)
- 所以z等於
- r乘以e^(iφ)
- r乘以e^(iφ)
- 所以有兩種表示複數的方法
- 當已知實部和虛部時
- 你們可以這樣寫
- 這是我們之前做的
- 或者可以表示爲指數形式
- 也就是用模量乘以
- 一個複指數
- 我們會發現這種表示法非常有用
- 特別是在求根的時候
- 現在 爲了使它看起來具體一些
- 我們來做一個例子 假設我有--
- 假設z1等於根號3除以2
- 加上i
- 我們要計算--
- 我們要計算它的模
- 以及它的輻角
- 我們來做一下 z1的模
- 就等於根號下它的平方--
- 也就是
- 3/4--
- 3/4加上1的平方--
- 我們可以寫成4/4
- 就等於根號下7/4
- 也就是
- 根號7除以2
- 現在計算輻角
- 我們來畫一下--
- 我們把它在阿根圖上畫出來
- 阿根圖是這樣的
- 該複數應該在第一象限
- 只需考慮第一象限
- 我畫一下
- 像這樣
- 情況是這樣的
- 它等於根號3--
- 我來修改一下
- 使數字簡潔一些
- 對不起
- 我要讓它變得簡潔一些
- 這樣我們才會有一個簡單的答案
- 我們的第一個例子應該簡單點
- 我們設z1等於
- 根號3除以2加上i/2
- 計算一下模量
- z1等於
- 根號下3/4
- 加上1/2的平方
- 也就是1/4
- 這樣就很簡單了
- 這項等於根號1 也就是1
- 現在我們想一下--
- 我們把它在阿根圖上畫出來 以使輻角形象化
- 這是虛軸
- 這是虛軸
- 這是實軸
- 實軸
- 該複數是根號3除以2--
- 根號3除以2是0.7
- 如果這裡是1
- 它會是-- 這是1
- 0.7應該在這裡
- 大約在這
- 這就是根號3除以2
- 也就是實部
- 虛部是1/2
- 所以如果這兒是1 這裡就是1/2
- 虛部就在這-- 1/2
- 實際上我們也知道其長度-- 或者說模量是1
- 那麽我們該怎麽計算φ呢？
- 這條邊是根號3除以--
- 我得仔細點--
- 這條邊是1/2
- 也就是虛部
- 底是根號3除以2
- 有好幾種方法可以用
- 你們可以求一下正切
- 因爲它表示了對邊除以鄰邊
- tanφ等於對邊
- 也就是1/2除以根號3除以2
- 之後可以對兩邊求反正切
- 也就是φ
- 等於arctan--
- 如果分子分母乘以2
- 這就是1除以根號3
- 你們可以這樣做
- 也可以說φ等於arcsin--
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