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二項式定理 (第一部分 英語) : Introduction to raising (a+b)^n
相關課程
- 我們將要學習組合的應用
- 一開始你們可能覺著不太直觀
- 但隨著多加思考
- 就會很好的理解
- 希望這會讓你們再一次
- 欣賞到數學之美
- 接著你們也會知道
- 爲什麽我們說C(n,k)
- 也被稱爲二項式係數
- 因爲我們將要講到二項式定理
- 在給出二項式定理之前
- 我們來了解一下
- 爲什麽這很有趣
- 我把這裡擦掉
- 反轉顏色
- 如果要乘上-- 我沒想好
- 我們取二項式的不同次冪
- 二項式是有兩項的多項式 對吧？
- 那麽a+b-- (a+b)^0
- 等於1 對吧？
- 任何數的0次方都等於1
- (a+b)^1 等於a+b
- (a+b)^2 等於--
- 如果你們沒做過很多這種練習的話
- 可能會說是a^2+b^2
- 但很快你們就應當糾正自己
- 拍一下你的手腕或者腦袋
- 或者什麽其他地方
- 因爲它等於(a+b)(a+b)
- 接下來我們可以運用分配律
- 或者可以用我們在代數1中
- 學到過的性質
- 它就等於a(a+b)
- 加上b(a+b) 對吧
- 就等於a^2+ab+ba+b^2
- 等於a^2+2ab+b^2
- 這是一點複習
- 現在更有趣了
- 什麽是-- 我把它圈出來以便我們記憶
- 這是(a+b)^2
- 那麽(a+b)^3是多少呢？
- 這有點複雜了
- 它等於(a+b)(a+b)(a+b)
- 或者說是
- (a+b)^2乘以(a+b) 對吧？
- 這是3次冪
- 那麽這是(a+b)^2
- 如果乘以(a+b)
- 就會得到(a+b)^3
- 來計算一下
- 用它乘以(a+b)
- 首先所有項乘以b
- 就是b-- 我換種顏色
- 是a^2・b 對吧？
- a^2乘以b
- 接著2ab乘以b
- 那麽是2a・b^2 對吧？
- 2ab乘以b
- 接著加b^3
- 接下來a乘以a(老師口誤 應是a乘以a方）
- 是a^3 對吧？
- 這些沒有和這項匹配的 所以我把它單獨列出來
- a乘以2ab
- 是2a^2・b
- 我把這項放在這
- 接下來a乘以b^2
- 也就是加a・b^2 對吧？
- 現在把所有項相加
- 我們做的就是再次運用了分配律 對吧？
- 先用a乘以所有這些項
- 再加上b乘以所有這些項
- 如果都加起來--
- 我會以-- 我看一下
- 把a的立方放在前面
- 接下來-- 有這一項
- 這個2a^2・b 我把它寫在這
- 2a^2・b 因爲這裡有a^2・b
- 我只是把2a^2・b重新寫到這了
- 所以得到a^3+2a^2・b+a^2・b
- 是3a^2・b
- 接下來2a・b^2+a・b^2
- 這是3a・b^2
- 接著加b^3
- 你們可以看到 複雜了很多
- 只是取3次方就這樣了
- 我們可以-- 如果有時間的話
- 可以計算(a+b)^4是多少
- 甚至(a+b)^10是多少
- 但可想而知 這會用很長時間
- 所以如果有個簡單的方法
- 可以計算任意冪的二項式 那會非常好
- 那就是二項式定理的作用
- 這個影片中
- 我會給你們二項式定理的概念
- 還會教你們如何運用
- 我會告訴你們一個技巧
- 會讓你們看起來像個天才
- 接著下個影片
- 我希望能讓你們大體了解
- 爲什麽二項式定理中涉及到組合
- 又爲什麽涉及到二項式係數
- 那麽二項式定理是什麽？
- 我把這些都擦掉
- 你們可以證明二項式定理
- 適用於我們剛做出來的那道題
- 直到(a+b)^3
- 如果你們想懲罰自己
- 可以做一下(a+b)^4
- 看一下
- 清屏
- 反轉顏色
- 那麽二項式定理告訴我們
- (a+b)^n等於--
- 我知道開始可能會看起來複雜
- 但我們會做一些練習
- 你們會發現並沒有那麽嚇人
- 它等於k從0到n 對吧？
- 這個n和那個n是一樣的
- 每項的係數都是C(n,k) 對吧
- 我們要使k從0增到n--
- 乘以x^(n-k)乘以y^k
- 我知道這看起來很複雜
- 但我們做一些具體的例子後
- 我想就容易理解了
- 那麽考慮到-- 不好意思
- 這是-- 這不是-- 我寫錯了
- 這裡應該是a^(n-k) 這裡是b
- 我之前寫的
- 是(x+y)^n
- 如果是(a+b)^n 就該是C(n,k)乘以
- a^(n-k)乘以b^k
- 我們在一些具體的例子中運用一下這個公式
- 我們可以交換變量名
- 如果想讓大家明白
- 這裡不一定是a和b的話
- 它們可以是任何變量
- 那麽(a+b)-- 我們做一個
- 如果不用公式會很難的問題
- (a+b)^4
- 二項式定理告訴我們
- 第一項應該是--
- n是多少 n在這裡是4
- 就等於-- 我把所有數都代上吧
- k從0到4 C(4,k) 對吧？
- 因爲k是要增加的
- a^(4-k)
- b^k 對吧？
- 我只是把
- 二項式定理中的n替代了
- 這個等於什麽呢？
- 第一項是k=0
- 也就是C(4,0)
- 在4個中選0個
- 下個影片我會告訴你們爲什麽可以這樣做
- a^(4-k)
- 第一項k是0
- 所以是a^4 b^0 對吧？
- b這項是1 可以不用管
- 下一項是什麽呢？
- 是C(4,1)
- 現在k是1了
- 4-1=3
- 所以是a^3
- 現在k是1
- 我們在-- 這是第0項
- 這是第一項
- 那麽b-- 你們可以看到 每一項
- 這個a項 也就是第一項 不論在哪都是降低的
- 從n次冪開始 或者說4次冪
- 接下來每一項都減1
- 第二項 也就是b項
- 從0次冪開始
- 也就是開始是1
- 這就是爲什麽這裡看不到
- 它的每一項都是增加的
- 那麽繼續-- 我想你們看出規律了
- 就是C(4,2)
- a^2・b^2+C(4,3)a・b^3
- 加上C(4,4)
- 那麽a的0次方是1
- 再乘以b^4
- 如果計算出這些二項式係數
- 問題就可以解決了
- 它們是從二項式定理中推出來的
- 我們還記得怎麽算 對吧？
- 希望你們有個大致的概念
- 你們不應該只是記住
- C(n,k)在組合學上
- 等於n!/k!(n-k)!
- 那麽這個題中 C(4,0)是多少？
- 它等於-- 我知道現在看起來很費時
- 雖然它實際上仍比一個個乘
- 用的時間少
- 我一會教給你們一個技巧 這會使你們吃驚
- 它等於4!/0!4!--
- 對吧 4-0=4
- a^4+4!/1!3!
- 對吧？
- 4-1是3
- a^3乘b加上--
- 我知道這有些乏味
- 但我認爲徹底地解決一個問題是一個好習慣
- 加上C(4,2)
- 也就是4!/2!2! 對吧？
- 4減2是2
- a^2・b^2加上C(4,3)
- 也就是4!/3!1!
- 4-3是1
- ab^3
- 最後C(4,4)
- 等於4!/4!0!
- b^4
- 注意： 這兩個係數是一樣的
- 這兩個係數是一樣的
- 這個在中間
- 那麽我們來求一下
- 我要換種顏色
- 那麽0! 如果你們不知道
- 它實際上等於1
- 這看上去並不好理解
- 因爲1!也是1
- 但這是你們應該知道的
- 因此4!/0!4!
- 這一項等於1
- 所以第一項是a^4 加上4!--
- 是4・3・2・1除以3・2・1
- 等於4
- 4a^3・b加上4!
- 這個等於4・3・2・1
- 也就是24 對吧？
- 除以--2!是多少
- 就是2
- 所以2乘2等於4
- 24除以4等於6
- 那麽就是6a^2・b^2加上--
- 這兩項一樣的 對吧？
- 只不過1!和3!
- 位置互換了
- 你們可能會花點時間
- 來想一下爲什麽是那樣
- 這應該會給你們一點感覺
- 這項是4ab^3
- 這樣講得通 不是嗎？
- 因爲這個可以說是b+a的展開項
- 而a+b和b+a是一樣的
- 所以這裡的對稱是有道理的 對吧？
- 這項是4ab^3 這項是4a^3・b
- 如果你們覺著困惑就忽略我剛才說的
- 如果你們覺著有啓發當然更好
- 接下去最後一項
- 4!
- 這一項和這一項是一樣的
- 之前計算出來這項是1
- 所以是b^4
- 這樣就得到了一種對稱
- 二項式係數是1 4 6 4 1
- 以後的影片我會告訴你們
- 這些是帕斯卡三角形的項
- 這是另一種求解的方式
- 但無論如何 這是二項式定理的一個應用
- 我意識到我已經花了12分鍾了
- 所以我會在下個影片裏做更多的例子
- 再見
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