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二項式定理 (第二部分 英語): Binomial Theorem and Pascal's Triangle
相關課程
- 上個影片我們知道 如果要
- 計算(a+b) ^n 當n比2大
- 尤其是比3大時
- 用乘法一步步做很麻煩
- 其本質就是用分配律
- 或者說是做多項式乘法
- 或者任何你們學過的性質
- 這樣非常的乏味
- 接著我們學習了二項式定理
- 它告訴我們
- 原式等於k從0到n
- C(n,k)的和-- 對吧？
- C(n,k)我們在學組合時學過
- 是二項式係數
- 而這就是它被叫做二項式係數的原因
- 因爲實際上它是二項式定理裏的係數
- x^(n-k)--
- 對不起 我老是寫成x
- 我來撤銷這步
- 編輯 撤銷
- 編輯 撤銷
- 這樣花的時間太長了
- 我來-- 不 這不是我想做的
- 我來擦掉它
- 好了
- 我總是寫成x
- 它可以是x
- 但那樣的話這裡也得是x
- 或許我應該那樣做
- --a^(n-k)乘以b^k
- 那麽每一項-- 你們知道n是常數
- 但每一項
- 從k=0開始並且k一直增加
- 上個影片我們做了個例題
- 計算了(a+b)^4
- 你們當時看到了 那很乏味
- 但比用乘法來做要好些
- 並且如果你們能很快的計算
- 不同n和k值的C(n,k) 就會相當快了
- 那麽我要做的是教你們
- 一種稍微快點的方法
- 用它計算二項式係數會快一些
- 之後
- 我會告訴你們一個更快的方法
- 不用記住這些係數--
- 有些人就是這麽做的
- 這種方法很神奇
- 可以得到任意二項式的結果
- 那麽我的稍微快點的方法是什麽
- 上個影片我曾提示過
- 這些係數是帕斯卡三角形的項
- 那麽帕斯卡三角形是什麽呢？
- 如果我們以1開始 接著你們--
- 我來做一下-- 在這做
- 實際上我會以兩個1開始
- 你要做的是 把它們加起來
- 得到2
- 接著把1拿下來
- 拿到左右兩邊
- 注意 這些是(a+b)^2的係數
- 這些是a+b的係數
- 你們也可以說是(a+b)^1
- 1個a加1個b
- 這是a^2-- 你們可以重新寫
- (a+b)^2 等於a^2+2ab+b^2
- 那麽這些是(a+b)^2的係數
- 我隨機換種顏色
- 1+2是3
- 2加1是3
- 把1拿下來
- 把1拿下來
- 現在有(a+b)^3的係數了
- 這就是我們在--
- 這是我們一開始做的
- 那時我們進行了相乘
- 但現在我們已經知道規律了
- 第一個係數是1
- 那麽就是a^3 b^0
- 所以我們不需要寫出來b-- 加3
- 僅需把指數減1
- 3a^2・b+3ab^2 接著是加a^0
- 也就是1-- b^3
- 這樣非常快
- 我們可以繼續寫出帕斯卡三角形
- 那麽我們來做下一個
- 把1拿下來
- 1+3是4
- 3+3是6
- 這很簡潔
- 我是說很簡單
- 可以不用計算
- 就生成二項式係數
- 我想你們可以稱它爲一種算法
- 或者畫圖法
- 正如你們期望的 它也是對稱的 對吧？
- 因爲可以把b和a互換
- a+b和b+a是一樣的
- 所以你們會得到一樣的答案
- 那麽-- 我們很快地計算出了
- (a+b)^4的二項式係數
- 這比我們在上個題中做的快多了
- (a+b)^4
- 那麽接下來我們-- 我想你們懂了
- 不過 因爲它是1-- 我用不同的顏色來寫
- a^4 b^0
- 加上4a^3b^2-- 不對 是b^1
- 加6a^2・b^2
- 這個是中間數
- a和b在這點都有一樣的指數
- 這樣才講的通
- 接下來加4a-- 指數減1-- b^3
- 加b^4
- 1b^4 對吧？a^0
- 所以我們並沒在這裡寫a
- 所以是b^4
- 這和我們在上個影片最後所做的相比
- 是很快的了
- 我們還可以繼續
- 對於5次冪
- 1+4=5
- 4+6=10
- 6+4=10
- 4+1=5
- 把1拿下來
- 這些是(a+b)^5
- 展開式的係數
- 所以這是一種快速得出答案的方法
- 雖然-- 它會占用不少空間
- 它對於8次冪 9次冪或者10次冪
- 也能很好的適用
- 不過那樣會變得很大而且麻煩
- 但你們該知道
- 對於7 8 9次冪 你們都可以用這種方法
- 可以迅速地畫出來
- 這樣比計算每個二項式係數
- 來的快一些
- 盡管你們可能可以很快地計算C(n,k)
- 那樣就不用畫圖了
- 那麽先不去管這種方法
- 我教你們一種更快的
- 也不需要記憶
- 這種方法允許你們在頭腦裏
- 計算(a+b)^n
- 可以到20次冪
- 這取決於你們心算的能力了
- 技巧在於--
- 我鼓勵你們做一下實驗 了解一下爲什麽可行
- 但這種方法確實管用
- 我想這甚至不能叫竅門
- 它只是-- 這裡的帕斯卡三角形也不是花招
- 帕斯卡三角形只是一種供選擇的方法
- 可以産生二項式係數
- 而我要教你們的僅僅是
- 另一種生成二項式係數的方法
- 雖然這種方法可以非常快的得出答案
- 思考一下爲什麽這種方法管用
- 對你們很有好處
- 我將以一個具體的例子開始
- 我用x+y取代a+b
- 因爲大家可能見過二項式定理
- 是那麽寫的
- 對於(x+y)^10
- 如果要用乘法來做
- 會花我們很多時間
- 可能得20到30分鍾
- 才能計算出所有的二項式係數
- 並且不犯錯誤
- 可能不會那麽久 但確實會比較耗時
- 如果畫帕斯卡三角形則會占用一整頁
- 而且容易犯錯
- 那麽我該怎麽做呢？
- 你們知道一點
- 它會有11項 對吧？
- 因爲會以x^10 y^0
- 作爲第一項
- 一直到y^10
- 那麽從0開始一直到10 總共11項
- 所以展開式有11項
- 我希望你們做的是寫出第一項
- 僅寫數字
- 你們可以寫出來所有項
- 但不一定非要寫到11 我會告訴你們原因
- 不過 我們先來寫一下 一直到11
- 那麽1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
- 把它擠進去
- 你們會發現
- 不需要一直到11
- 可以在6這停下
- 這裡就是訣竅所在了
- 第一項是x^10
- 對吧？
- x^10
- 我們知道是x^10
- 第二項是x^9
- 接著是x^8
- 再下面是x^7
- 有點乏味了 x^6
- x^5
- x^4
- x^3
- x^2
- x
- 接著是x^0 或者說1
- 開始做y項
- 這是x^10
- 這有些暗了 換一種顏色
- 這是y^0
- 不需要寫
- 接著是y
- y的1次方
- y^2
- y^3
- y^4
- y^5
- 這是中間項
- y^6
- y^7
- y^8
- y^9
- 希望你們不會糊塗
- 這些都是單獨項
- 你們不要認爲我要把它們乘起來
- 接著 我們只需計算
- 每一項的係數
- 這些是我畫的分開線
- 我不想再迷惑你們了
- 我只是想-- 因爲我寫的這些項
- 看起來連在一塊了
- 不過我想你們知道我在幹嘛
- 現在我們必須計算係數了
- 這裡就是巧妙之處
- 第一項的係數
- 我在這裡和這裡畫條分開線
- 第一項的係數是1 對吧？
- 那麽係數是1
- 第二項的係數
- 是第一項的指數
- 乘以它的係數-- 10乘以1
- 除以那一項的序號
- 所以是10乘以1除以1
- 也就是10
- 第三項的係數
- 是前一項x的指數 對吧？
- 也就是9乘以10
- 9乘10除以前一項的序號--
- 所以就是9乘10除以2
- 9乘10是多少？
- 是40--不對 是90 再除以2 等於45
- 繼續
- 第四項是第三項的x的指數--
- 也就是8--
- 我換種顏色來寫--
- 是8乘以係數
- 乘以45除以前一項的序號
- 是第三項
- 除以3
- 也就是8乘15
- 等於80加40
- 也就是120
- 這是第四項
- 我畫一下分開線
- 我知道有些複雜了
- 我會像這樣一直寫下去
- 如果你們練習的多了
- 實際上可以很快地直接寫出來
- 那麽第五項
- 第五項是什麽？
- 用x的指數
- 也就是7 乘以第四項的係數
- 乘120-- 除以4
- 對吧？
- 除以前一項的序號 也就是4
- 最後是7乘以30 等於210
- 這是第五項
- 第六項是多少？
- 是6乘以
- x的指數-- 乘以210
- 乘以它的係數-- 乘以第五項的係數
- 除以5 因爲是第五項
- 210是5的多少倍
- 42倍 對吧？
- 那麽就是6乘以42-- 等於240加12
- 252
- 一旦到了中間項
- 第六項在中間-- 你們會看到
- 到了中間項就開始往相反的方向走
- 從帕斯卡三角形
- 或者二項式定理的定義
- 我們知道係數是對稱的
- 所以我們知道下一項和--
- 這是中間項 對吧？
- 所以下一項係數是210
- 你們可以用同樣的方法做一下
- 這僅是一種快速的方法
- 這個是120
- 這項是45
- 這是第10個係數
- 等於10
- 當然最後一個係數是1
- 1y^10
- 所以我要寫出來的話 答案是--
- 如果你們練習過
- 你們會發現可以做的很快
- x^10+10x^9y
- +45x^8・y^2
- +120x^7・y^3
- +210x^6・y^4 +252--
- 已經到中間項了-- x^5
- y^5 +210x^4・y^6
- 沒地方了
- 不過你們可以推斷出來我下面要做的
- 這對你們很有意義
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