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二項式定理 (第三部分 英語) : Intuition behind why binomial expansion involves combinatorics
相關課程
- 這個影片我會嘗試
- 給你們解釋
- 爲什麽二項式相乘會涉及到組合學
- 爲什麽在那會出現
- 二項式係數
- 我會用幾種顏色來做
- 而且爲了給你們直觀的感受
- 顏色並不是任意的
- 那麽我們來做一下(a+b)^3
- (a+b)^3 也就是a+b
- 我要一直換顏色
- 你們必須得忍受我
- 不過結果會很有成效-- 乘以(a+b)
- 乘以-- 我來選一種恰當的顏色
- 或許是藍色-- 乘以(a+b)
- 我們用分配律來做
- 它等於a乘以-- 回到綠色-- a+b
- 這個綠色好像不大一樣
- 我想確定我用了正確的綠色
- 因爲顏色不同會有影響
- (a+b)-- 這很枯燥 不過值得去做
- 加上b(a+b)
- 所有這些再乘以(a+b)
- 把裏面的繼續乘開
- 我只是繼續相乘出結果
- 那麽是a乘以綠色的a
- 我知道這兩個a是一樣的-- 加上
- 我應該用一種中性的顏色表示加號
- 不過這也還可以-- 加a乘以--
- 你們可能會覺著無聊
- 但最後會有收獲的-- a乘b
- 接著加上b乘a 加黃色的b乘綠色的b
- 下面用所有這些-- 我們快得出結果了
- 快了
- 所有那些乘以(a+b)
- 本質上
- 我們是要用a乘以所有項
- 這個藍色的a乘以所有這些
- 再加上藍色的b乘以所有這些
- 所以我們來算一下 藍色a乘以這些
- 第一項是黃色的a
- 綠色a 然後藍色a
- 所以會是a a a
- 這是不同的藍 不過我想你們明白
- 加上這個乘以藍色的a
- 有黃色a 綠色b 藍色a 加上黃色b
- 綠色a 藍色a-- 希望你們沒有被我搞混--
- baa b a a
- 我們快得到結果了
- 加上黃色b乘以綠色b乘以藍色a
- 我們已經做完了所有藍色a的相乘
- 那兒有一個藍色的a
- 加上--
- 現在該用藍色b乘以所有項了
- 那麽是黃色a乘以綠色a 對吧？
- 黃色a 綠色a 接著藍色b 乘以綠色a 乘以藍色b
- 快得出結果了 我知道這很乏味
- 乘以藍色b 加黃色a
- 靈感來之不易
- 黃色a- 到這一項了- 黃色a 綠色b 藍色b
- 綠色b乘以藍色b
- 現在到了黃色b-- 用這些顏色的好處在於
- 很容易知道我們做到哪了
- 加黃色b乘綠色a乘以藍色b
- 到了最後一個
- 加上黃色b 綠色b 乘以藍色b
- 這就是(a+b)^3
- 的展開式 對吧？
- 我們沒有化簡 我這麽做是有理由的
- 因爲你們可以看到這裡的每一項-- 發生了什麽？
- 每一項都有一個--
- 是3個數字相乘 對吧？
- 每一項都是3個數字相乘
- 這些數字是-- 黃色的數字
- 來自於第一個-- 來自於這裡黃色的a+b
- 綠色的數字-- 中間的這些
- 來自於中間的(a+b)
- 藍色數字來自於右邊的(a+b)
- 你們看到了我完整的寫了一遍 對吧？
- 所以希望你們相信這點
- 我們換幾種不同的思維方式來想一下
- 爲了産生(a+b)^3的
- 展開式裏的這些項
- 我們必須選擇a或者b 從--
- 在這個黃色的(a+b)裏 我們選擇a或者b
- 對吧？ 這裡選了a 這裡選了a
- 這裡選的是b 這裡是b 這裡是a 這裡是a a b--
- 在綠色這組(a+b)中
- 我們也是要選擇a或者b
- 藍色的(a+b)裏
- 我們要選擇a或者b
- 對吧？
- 所以如果你們思考一下 這個展開式實質上
- 這個展開式-- 實質上包含了
- 選擇3種不同的東西的所有可能性
- 從這3項裏選擇a或者b
- 的每一種方式
- 最後就得到了這些 這是什麽？
- 1 2 3 4 5 6 7 8項
- 對吧？
- 現在我們讓它更--
- 對於這是怎麽回事 我再多給大家
- 一點直覺
- 我非常希望你們能開始意識到
- 爲什麽這和排列組合有關
- 尤其是組合
- 一旦我們化簡之後 會怎樣呢？
- 這是a^3 對吧？
- 它是唯一的a的立方項
- 這是a^2・b
- 另一個a^2・b在哪呢
- 我們看一下 a^2・b
- 這項也是a^2・b
- 我把所有的a^2・b寫出來
- 看看一共有多少個
- 我會用中性色來寫
- 這是a^2・b
- 這是ba^2 也就是a^2・b
- 另一個a^2・b呢？
- 在這 對吧？a乘a乘b
- 所以有3種方法得到a^2・b
- 這就是爲什麽我們最終寫展開式時
- 它會-- 我們知道
- 它前面的係數是3 對吧？
- 當我們把它乘出來時
- 可以看到a^2・b項的係數是3
- 我們已經這樣做過幾次了
- 當運用二項式定理
- 計算3次冪的時候
- 這個3是哪來的？
- 爲什麽它和我們學習
- 二項式定理時得到的一樣？
- 爲什麽-- 你們知道
- 它等於C(3,2)乘以a^2・b
- 是偶然的嗎？ 不是
- 這樣想
- 我們知道這裡的每一項
- 展開式中的每一項
- 實質上我們是從這裡
- 選擇了一個a或者一個b 對吧？
- 我們必須在這些中選一項
- 那麽你們可以這樣想 對於a^2・b--
- 爲了得到a^2・b-- 我們必須考慮
- 有多少種組合
- 這就是關鍵詞
- 這3項(a+b)裏
- 有多少種選擇
- 兩個a項的組合？
- 這裡我選了兩個a
- 因爲要得到平方 必須選兩次a項
- 所以在我的3次選擇中
- 必須選兩個a
- 我要選3次
- 其中的兩次 要選a
- 也就是3次選2個
- 這就是a^2・b中
- C(3,2)的由來
- 所以 對於ab^2 你們可以說
- 我選擇一次a
- 從3個裏面選一次a
- 有幾種可能？
- 那麽應該是C(3,1)
- 這應該就等於--
- 可以這樣說 我要選--
- 如果選3次
- 那麽選擇兩次b有幾種方法
- 如果是ab^2 就要選兩次b
- 所以也等於C(3,2)ab^2
- 如果算出了這個 你們會發現
- 這兩個都是3
- 實際上 這就是對稱的由來
- 這種組合算法一直管用
- 希望這樣會給你們一些啓發
- 基本上 當你們做--
- 計算二項式展開時--
- 我在這再寫一遍
- 這是(a+b)^3
- 等於C(3,0)a^3・b^0
- 加上C(3,1)a^2・b
- 加C(3,2)ab^2
- 加C(3,3)a^0・b^3
- 這說明了什麽呢？
- C(3,3)是什麽？
- 有多少種方法-- 如果我要從3種東西裏選擇--
- 有幾種可能選到3個b
- 這就是你的思考方式
- 有幾種可能選到3個b？
- 我要麽選a要麽選b 對吧？
- 可以想成擲硬幣的正反面
- 或者是黑與白 不過這裡是a或b
- 從3樣東西中選3次b用幾種方法
- 當你們求出來這個值 它等於1
- 這樣就講得通了
- 因爲是1b^3
- 類似的 這個你們可以看成
- 從3樣東西選0個b
- 有多少種方式？
- 這就是C(3,0)
- 有幾種選0個b的方法？
- 這和有幾種選3個a
- 的方法是一樣的
- 也是1
- 只有1種方法
- 就是這樣
- 再說一次 這個也只有一種實現的方法
- 就是這樣
- 有3種方法得到a^2・b
- 有3個組合
- 有3種可能的-- 實際上是不同的排列
- 但都是一種組合
- 所以對於選兩個a以及1個b
- 有3個一樣的組合
- 也就是這一個 這一個和這一個
- 希望我沒有使你們困惑
- 希望至少
- 這堂課能給你們一些直覺
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