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組合 (英): 介紹組合
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- 上個視頻中 我們分析了共有多少種方法
- 讓五個人坐三把椅子
- 例如 如果這是第一把椅子
- 這是第二把 這是第三把
- 我們說第一把椅子可以由五個人中任何一個坐
- 沒有人坐下
- 还剩下四个人没有座位
- 第二把椅子可由四个人中任意一个坐
- 还剩下三个人没有座位
- 可以让其中任何一个人坐第三把椅子
- 所有的排列
- 不同人坐在不同椅子上的方式总数
- 如果我们考虑顺序
- 如果考虑不同的人坐在了哪个椅子上
- 总数是5乘以4乘以3
- 另一种思考方法是 5乘以4乘以3
- 这就相当于
- 等于5乘以4乘以3乘以2乘以1除以什么呢？
- 除以2*1
- 也就相当于5的阶乘除以2的阶乘
- 2从哪里来的呢？
- 2与5和3有什么关系呢？
- 这两种分析有什么区别？
- 这两个代表相同的结果
- 等于5的阶乘除以5-3的阶乘
- 总之 这代表我们解题的一般思路
- 在5样东西中选择3个放到3个位置中
- 共有多少种排列呢？
- 一般公式是
- 我们在上个视频中学过了
- 换种颜色
- 如果我们要从n样东西中选出k样放到k个位置中
- 并且k必须小于等于n
- 实际上 并不需要这个限定条件
- 对于现在的目的来说 将假设k小于等于n
- 因为如果没有这个条件 公式将行不通
- 排列总数等于n的阶乘除以n-k的阶乘
- 我总是发现记住这个公式比
- 根据实际情况推导更难
- 题目说 哦 大家知道 有5个人
- 可以将5个东西放在这里
- 一旦这里放了一样东西
- 还剩下4样东西可以放
- 然后还剩下三样东西可以放
- 我思考的方式是
- 在n的阶乘中计算前k个元的积
- 或者在这种情况下
- 在5的阶乘中计算前3个元的乘积
- 5乘以4乘以3
- 这是我思考排列的方式
- 如果我们考虑
- 比方说 这是人A B C D E
- 所以这是5个人 他们要坐到这些椅子上
- 如果我们考虑排列ABC
- 与排列ACB不相同
- 不同于排列- 我不知道
- BAC 不同于排列BCA
- 记住 当我们这么做时 实际上我们考虑了
- 他们坐在了哪个位置
- 上个视频中 我们多算了
- 因为A坐第一个位置
- 并且B坐第二个位置是有关系的
- 如果交换了位置 还要计算在内 对吗？
- 这是他们交换位置的情况
- 但如果我们不考率这种情形会怎样呢？
- 假设我们不考虑哪个人坐在哪个位置会怎样呢？
- 我们只要知道 5个人坐下的方式
- 有多少种
- 所以我们要将A B C坐下的所有情况都
- 当成一种情况
- 我们不关心哪个人坐在了哪个位置
- 我们只要关心是哪三个人坐下了
- 这是一种情况 是五个人坐下的一个子集
- 所以问题不是
- 有多少种排列
- 或说多少种方法能够让五个人坐下
- 问题变成
- 从5个人中选出3个人 有多少种选法？
- 我知道我有点过了
- 这本质上就是一个组合
- 组合就是
- 不用考虑顺序的排列
- 我们怎么知道的呢？
- 当我们用这个公式
- 计算排列时
- 例如 我们考虑ABC ACB BAC
- BCA 大家看看
- 应该还有两种排列
- 我们将这6种作为不同的排列
- 但在组合中 我们将
- 这本质上是同一个组合
- 因为我们不考虑顺序
- 所以对于坐在这些位置上的任意3个人
- 实际上有6种排列
- 在做排列时我们要全部考虑
- 如果我们要做组合题
- 要除以将3个人安排在3个位置上的
- 所有排列总数
- 这就是我们刚才做的
- 那么有多少种方法可以
- 安排3个人坐在3个位置上呢？
- 这是另一个排列问题
- 第一个位置可以坐3个人中的任何一个
- 第二个位置可以坐2个人中的一个 最后一个位置
- 还剩下一个人
- 所以排列总数等于3的阶乘 也就是6
- 这等于3的阶乘 也就是6
- 希望大家都明白了
- 我要说的是
- 当大家做排列时 要考虑
- 人们被安排的所有不同顺序
- 我现在要说的是
- 有多少种方式安排每个人的座位呢？
- 答案是座位数的阶乘
- 因为如果把三个人放到三个位置 或者比方说
- 把四个人放到四个位置
- 第四个位置可以放4个人中的任意一个
- 第二个位置放剩余三个人中的任意一个
- 第三个位置可以放两个人中任意一个
- 最后一个位置只有一个人可供选择
- 所以位置数量的阶乘就是
- 我们要计算的排列
- 当人数和位置数相同时
- 就像是抢椅子游戏 每人占一个位置
- 为了算出组合数
- 如果我们要知道有多少人-
- 比方说如果有5个人
- 有多少种方法选3个人坐下呢？
- 我们不需要双重考虑
- 不需要多次考虑同一组人
- 我不知道该用什么词表达
- 将某个东西考虑6次
- 这相当于将排列
- 除以我们额外考虑的次数
- 我们除以
- 3个人坐到3个位置上所有方式数
- 这是3的阶乘
- 希望大家都明白了
- 或许我应该在另外的视频中多做些例题
- 如果大家感觉更困惑了
- 一定要告诉我
- 总之 如果我们说
- 共有多少种方法从n个东西中选择呢？
- 或说从n个东西中选择r个有多少种组合呢？
- 在这里r小于等于n
- 等于从n个东西中选r个放入r个位置的排列总数
- 除以r的阶乘
- 我们要除以
- r个位置自身可被排列的总数
- 因为我们不想将它们作为不同情况考虑
- 如果回到上面的公式
- 好的 这是k 但现在我们把它称为r
- 也就相当于 排列数是
- n的阶乘除以n-r的阶乘
- 现在我们要将它们都除以r的阶乘
- 等于 写下这个
- 这常写成从n中选择r
- 另一种书写方式是n选r
- 这个称为二项式系数
- 我们同样要在这个部分做一系列例题
- 实际上当大家把多项式按权展开时
- 这会出现
- 这等于n的阶乘除以r的阶乘
- 除以n-r的阶乘
- 大家可以记住这个式子
- 大家知道 这很有用
- 如果你们想在考试时快速做题
- 但思考这个公式是怎么来的非常重要
- n的阶乘除以n-r的阶乘
- 这是个排列
- 这是什么呢？
- 这是前r个
- 我想大家可以称为前r个因子
- n的阶乘中最大的r个因子
- 这就是这部分
- 当大家做组合题时
- 要除以r的阶乘
- 因为我们要除以
- 人们坐到r个位置上的
- 所有不同排列
- 或说 球可以放在r个杯中
- 在这里 如果大家要知道
- 从5个人或从5封信中选三个
- 共有多少种方法
- 结果是5的阶乘除以3的阶乘
- 乘以5-3的阶乘
- 也就是5乘以3乘以2乘以1 除以
- 3的阶乘是6
- 暂且先放到一边
- 除以 这是2的阶乘
- 2乘以1
- 注意 这里是一个排列
- 这部分和最小的两个因子抵消了
- 得到5乘以3
- 哦 抱歉 这是4
- 5乘以4乘以3 就是排列的总数
- 然后除以6
- 因为每种组合共有6个排列
- 或许这让大家困惑了
- 但无论如何 我们得到5乘以4乘以3除以6
- 这是多少？
- 5乘以12除以6 也就是5乘以2
- 从5样东西中选择3个
- 共有10种选法
- 下次视频再见
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