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複利與 e (第三部分 英語): 不斷用複利計算本金 $P，年利率 r ，一年最後的金額為 $Pe^r
相關課程
- 這些影片應該是關於e的
- 但是複利是引入它的很自然的方式
- 既然我已經沿著複利的軌道
- 走了這麽久
- 讓我們繼續走下去吧 這樣我就可以把這些影片
- 放在我的數學和金融的播放列表裏了
- 實際上 在我繼續講之前
- 我把Excel拿出來 我想向你們展示
- 它是如何收斂於e的
- 這是我計算複利的周期
- 在這個公式中 這是n
- 也就是我在這的這一列
- 這本質上是說當我求1加1/n的n次方時
- 會發生什麽
- 實際上 你可以看這個公式
- 我的Excel公式
- 這是1加上藍框裏的數分之1再取這個數的冪
- 這就是那個公式
- 我列了一大串數字
- 我每次都是將數字加倍
- 所以我很快就得到了一個很大的數字
- 你很快就發現它收斂於
- 這個數字：2.7183
- 那個數字後面很有很多很多位
- 那個數字是e
- 有趣的是 實際上 你進入谷歌的網頁後
- 你搜索e
- 他們會給你這個數字
- 因爲谷歌實際上是一個計算器
- 你也可以在其他地方查閱e
- 我認爲有計算e到任意小數的
- 網站
- 實際上 有些人 無論什麽原因
- 他們看到像π和e這樣的數字
- 他們可以“讀懂”它們
- 他們可以背誦這些數字到任意的小數位
- 我認爲你了解到的越多-
- 你看到π和e出現的次數越多
- 還有虛數-
- 我認爲你越會認識到這些數字
- 會以某種方式將事物的表層現象
- 挖掘得非常深
- 我的意思是我們接觸它們 只是因爲它們
- 在宇宙中完全不同的地方到處出現
- 它們幾乎都神奇地互相聯係著
- 我在接下來的影片的中會向你們展示
- 我想這完全有理由
- 讓你們對自然界的事物有一個新的認識 好吧
- 無論如何 我們繼續之前講到的複利
- 因爲我們需要讓新的認識有所依據
- 或者可能這必須用
- 給別人融資來解釋
- 通過放高利貸解釋這一現象
- 好吧 無論如何 我剛剛給的例子是
- 我收你100%的利息的情況
- 所以讓我們概括一下
- 對於
- 我收其他百分比的利率的情況
- 假設我收r%
- 我的利率- 對
- 我的利率是r%
- 那實際上是我打算收取的利息
- 利率是r 以小數表示
- 如果我換種寫法 它就是10r%
- 但是作爲小數-例如 我收取25%的利率
- 利率是0.25 我把它寫成25%
- 澄清一下
- 根據計算複利的頻繁程度
- 年末你會欠我多少錢？
- 好吧 回到我們之前所說的
- 你的初始本金
- 在目前爲止的每一個例子中都是1美元
- 但是爲了得到一般性的結論 我把它寫成p
- 一個計息期以後
- 你欠我的數額是1乘以本金
- 加上年利率-
- 在這個例子中它是r-
- 除以複利計算的次數
- 那依然是n
- 我求它的n次方
- 這樣計算
- 是可以說得通的 當n是-
- 我們說 r等於10% n等於2
- 這是你在年末欠我的錢-
- 如果n等於2
- 那意味著我們一年複利計算了兩次
- 或者我們每六個月
- 收取這個利息的一半
- 我們說 如果你打算借 p等於
- 我不知道 50美元
- 那是你初始向我借的錢
- 所以這個公式說的是
- 每段周期以後你將欠-
- 一段周期以後 你將欠多少錢？
- 這是你借的錢
- 下一段周期以後 六個月以後
- 你將欠我p 50美元
- 加上利率
- 除以一年內的周期數
- 所以從本質上講 這是一種年利率
- 但是如果我每六個月收一次費
- 我就要除以2
- 這是10%除以2乘以50美元
- 這就是什麽？
- 這和50乘以1加上利率除以
- 我們計算複利的次數一樣 對不對？
- 正如我在這標記的 這是六個月以後
- 另外六個月以後
- 我要用這個數字
- 之後我- 你知道 我們把它稱爲x-
- 我打算收你x加上10%除以2乘以x
- 或者我打算收你x乘以1加上10%除以2
- 這是x
- 一整年以後 我收你
- 50美元乘以1加上10%除以2 乘以1加上10%除以2
- 這就等於
- 好 以另一種方式表示-
- 50美元乘以1加上- 我們可以寫成小數-
- 0.1除以2的2次方 對不對？
- 這個數乘以自身兩次
- 所以 一般來說 當我計算複利時-
- 現在我認爲你會發現
- 我剛剛寫在這的公式之間的聯係-
- 如果你有一點困惑
- 或者說如果我講得太快了
- 可以自己試一些別的數字
- 希望你可以明白這與這是一樣的
- 看一下連續計算複利時 或者n接近無窮時
- 會發生什麽
- 讓我把它們擦掉
- 所以你欠我的數額-
- 我們可以稱之爲一年後的最終支付-
- 這一支付等於你借的錢-
- 我不喜歡這種顏色-
- 乘以1加上這一利率除以n的n次方
- 好吧 我們做一個替換
- 我們假設-
- 我認爲你會明白
- 我爲什麽要做這一替換-
- 我們假設r除以n-
- 假設我想找到當n接近無窮時
- 的極限
- 當我持續計算複利時
- 當n接近無窮時 1加上r除以n的n次方
- 的極限
- 我們做一個替換
- 我們說1除以x等於r除以n
- 如果1除以x等於r除以n 這說明了什麽？
- 我們看 那意味著n等於xr 對不對？
- 我只是將它們交叉相乘
- 之後 如果n等於xr 那是-
- n接近無窮就是說
- 假設r是常數
- 這個含義與x接近無窮相同
- 或者我們
- 可以這樣來看
- x接近無窮與n接近無窮
- 是一回事
- 所以可以在這做一個替換 我們得到-
- 這等於
- 當x接近無窮時
- 1加上- 我們說r除以n等於1除以x
- 我們剛才就是這麽定義的
- 取n次方
- 但是我們說- 這一替換得到它
- 所以n正好等於xr
- 記住 r只是個常數 對不對？
- 這等於
- 當x接近無窮時 1加上1除以x的x次方的極限
- 之後當你像這樣乘以一個指數時
- 它等於
- 這整個表達式的r次方 對不對？
- r是一個常數 對不對？
- 我們不是求關於r的極限 或者別的東西
- 它等於
- 當x接近無窮時 1加上1除以x的x次方的極限
- 這整個式子的r次方
- 我們之前算出
- 這個東西的值是多少？
- 好吧 這等於e
- 這等於e的r次方
- 如果我收取10%的利率
- 我想在一年之內持續計算複利
- 在年底
- 你將欠我
- e的10%次方乘以初始本金
- 所以我們說這等於e的r次方
- 所以p乘以它等於p
- 這些公式都有一個p
- 我用藍色表示以使你們可以記住
- 我把p給丟了
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