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複利與 e (第二部分 英語) : 年利率100%用複利連續計算會趨近於 e (2.71...)
相關課程
- 歡迎回來
- 再上一集影片中
- 之前我用複利使你們産生了困惑
- 現在我將繼續講解
- 一般的想法是
- 我提出了這個100%利率的問題
- 含義是一年後你向我支付
- 你借我的錢的100%作爲利息
- 之後我們討論了
- 如果你想六個月支付一半利息將會發生什麽
- 但是之後 我會計算
- 下一個六月的複利
- 我們說如果是每一個月或者每一天計算一次
- 又會發生什麽呢
- 這是每一天支付利息的例子
- 如果我每天收你2.7%的利息
- 但是我重覆計算365天
- 它變成了-我在這用Excel
- 讓我把這些都清理幹淨
- 它變成了1.027的365次方
- 奧 我用的不對
- 這不對
- 我們看 1.027的365次方
- 不 我在這犯了個錯誤
- 我看看1.027對不對
- 如果我收取100%並且將其除以365
- 100%等於1 除以365
- 這是-奧 這是0.00
- 對不起
- 我不能每天收你2%
- 是的 那似乎很高
- 我打算收你1.-那是0.00274
- 我收你0.2% 對不對？
- 這將是-
- 這裡是百分比個位數的位置 所以這是0.2%
- 所以我每天收你0.274%
- 我不知道爲什麽把它放在了括號裏
- 如果我對此複利計算365天
- 計算它的365次方 我最後得到了什麽呢？
- 我們看 如果我求1.00274的365次方
- 我得到了2.7148
- 它等於2- 這是你欠我的金額
- 如果你持有這些錢
- 你每天重借一次
- 一年結束你將欠我2.7148美元
- 現在 假設這對你來說是不夠的
- 因爲利率太高了
- 你想選擇每個小時支付一次
- 你希望每天的每個小時它都重覆計算
- 我們看
- 我們首先計算
- 一年有多少個小時
- 我們看
- 一年裏有365天乘以每天24個小時
- 所以一年有8760個小時
- 如果我們想用100% 也就是1
- 除以這個數字
- 我可以收你0.01-那數字是多少？
- 是的 它是0.0114
- 所以每個小時計算複利-
- 既然這是錢 我應該用綠色來表示
- 每小時計算複利 我將收你100%
- 除以一年中的小時數
- 這等於一小時0.0114%
- 所以一年以後 我要計算這麽多次方 對不對？
- 我們說 一小時以後你將欠我1.01-
- 對不起 它是0.01% 所以它是1.000114
- 那是一小時後你將欠我多少錢
- 所以1美元加上一美分的很小的一部分
- 再過一小時後
- 你將欠我這個的平方這麽多
- 因爲在一小時以後這將成爲新的本金
- 之後你欠我
- 同樣的部分再乘以它自己 對不對？
- 三小時以後 再乘以它一遍
- 所以在1年的總小時數以後
- 這等於1.000114
- 一年有8760個小時
- 我們看看你將欠我多少
- 如果我求1.000114的8760次方：2.71443
- 現在
- 一年以後在複利計算大約8700小時以後
- 你將欠我2.71美元加上1美分的一部分
- 我知道你們在想這些影片是關於e的
- 而你正在學習
- 如何從別人那裏獲益
- 但是你們可能觀察到了
- 這兒應該有一些有意思的東西
- 當我們開始複利計算時 首先當我們只是計算一期時
- 那是一整年 你欠我2美元
- 之後變成2.25美元 之後複利計算的間隔越來越短時
- 它變得越來越高
- 但是它看起來正在接近某個數
- 它看起來正在接近一個數 對不對？
- 當我每天計算複利時 在今年年底結束時
- 你欠我2.71美元再加上一點
- 如果我每小時都計算
- 這是原來的24倍
- 你依然欠我一個非常相似的數
- 所以它似乎正在接近
- 一個神秘的數字
- 這個神秘的數字就是e
- 現在讓我們正式確定我們已經
- 漫談了一個半影片的東西
- 我將換一種顏色
- 所以 一般來說 你在年底欠我的錢的數額
- 就是你借我的錢的數額
- 讓我換成藍色
- 我們稱之爲本金
- 這不夠亮
- 本金乘以1加上- 利率是多少？
- 是100%
- 100%除以你想在一年裏
- 複利計算的次數
- 我們稱之爲n 對不對？
- 我們乘以它的n次方
- 所以在這個例子中 當只有一個計息期時
- 你只借了一年
- 並且例子中本金只是1 對不對？
- 所以是1乘以-
- 本金正是你借的錢-
- 1加上-- 100%與1一樣 對不對
- 或者說1.00 當有一個計息期時
- 我們就這麽做
- 你在年末欠我2美元
- 這就是我在上一集以及本集前半段影片中
- 我做的事
- 我用一些變量將其公式化
- 當我們每月計息時 它變成了這樣：
- 你借的本金是1 乘以1加上
- 100%除以12的12次方
- 這等於-我們看看
- 我先將數字清除再重新計算
- 它是1加上1除以12
- 因爲有人以前從來沒見過
- 所以我用Excel來計算-
- 12 然後12次方
- 等於2.613
- 當我每天都計算複利時 我得到-
- 你借的本金是它乘以
- 1加上1除以365的365次方
- 這等於2.71 還有一些數
- 正如你所看到的 當等式中的n越來越大時
- 結果接近了這個神奇的數字
- 接近這個神奇的數字 2.71等等
- 那個神奇的數字是e
- 讓我驚訝的是它- 它從不重覆
- 這是那些神奇的數字之一 就像π一樣
- 之後 在以後的影片中
- 我們將會看到它到處都會出現
- 它在隨機組合中會出現
- 它在複變分析中會出現
- 正如我們在這看到的 並且可能是最重要的是
- 它在複利計算中會出現
- 所以 一般來說 我們可以用極限考慮
- 極限就是當接近某件東西時
- 將會發生什麽
- 就是當n接近無窮時的極限
- 在我們的例子中 那就是
- 當我們計算複利的時間間隔越來越小
- 1加上1除以n的n次方
- 等於這個神奇的數字
- 我換一個顏色
- 這個不太好
- 換一個顏色 e
- 那等於2.71
- 我忘了全部的數字了
- 還有很多
- 這真的是很有意思的嘗試
- 放入一個瘋狂的 巨大的-比如說100萬在這
- 如果你將它替換到這裡
- 那麽這裡也要改成100萬
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