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- 在上一集影片中 我向你們展示了
- 如果我借了P美元 借了1年
- 你收我r的利率
- 或者你可以說10r% 最後-
- 我們連續計算複利
- 所以在每個無限分之一秒都計算複利
- 我們計算了無數次
- 然而這都是在一年之內進行的
- 在一年結束時
- 我將欠你P乘以e的r次方美元
- 相當公平
- 現在 如果我借你兩年又會怎麽樣呢？
- 好吧 一年以後
- 我們已經說過我將欠你
- P乘以e的r次方美元 對不對？
- 兩年以後 會怎麽樣呢？
- 好吧 這變成了新的本金
- 你可以將它視作我借了這麽多錢
- 一年以後我欠了這麽多
- 所以這是新的本金
- 所以我可以重新借一次 對不對？
- 如果我重新借了這些 這變成了新的P
- 所以我可以寫成P乘以e的r次方
- 它將會-
- 新的本金將會再複利計算一年
- 所以e的r次方
- 所以那等於P乘以e的2r次方
- 類似地 現在這是我的新本金
- 如果我再借一年
- 它變成了P乘以e的3r次方
- 所以 一般來說 如果我借了P美元
- 那是我的初始本金
- 我以r的利率借了t年
- t年以後我欠的數額是P乘以e的rt次方
- 一旦你知道了這些
- 你已經準備好成爲了當地的銀行家
- 並且不斷地借給別人錢
- 我來舉幾個例子因爲
- 我認爲它可能有些抽象 讓人有一些困惑
- 我把這些數字都擦了
- 好的 假設我借了1000美元
- 假設利率是25%
- 那是年利率
- 利率等於25% 這等於0.25
- 假設我要借三年
- 所以t等於三年
- 我們將以這個利率連續計算複利
- 所以按照我們的公式
- 在年底我欠的錢就是我借了多少 1000美元乘以e
- 的利率次方
- 0.25 乘以年數 乘以t
- 所以我們-奧 對不起 那是3 對不對？
- 所以這等於1000乘以e的0.75次方
- 我們用Excel計算那是多少
- 你知道-
- 我不知道你們是否熟悉Excel
- 在Excel中 e的多少次方-
- 所以我寫上 這是1000乘以-
- 在Excel中e的多少次方是exp
- 所以這是e的多少次方 在這個例子中 它是0.75
- 我得到了答案
- 我不知道
- 可能在下面看不到
- 它在這
- 這是我的答案
- 放大一點 因爲我覺得
- 你們可能讀起來有些困難
- 因爲上傳到YouTube時它會有些保核回縮
- 2117美元
- 它等於2117美元
- 那就是你在三年後欠我的錢
- 這實際上是複利的力量
- 很多人 你知道
- 當你聽說10%的利率甚至是25%的利率時
- 沒有人會覺得這有什麽大不了的
- 但是當你以複利計算時
- 特別是當你持續計算複利時
- 它可以很快變成非常非常大的數字
- 我們再舉個例子
- 這可能是更爲複雜些的例子
- 或者可能是在書上會看到的例子
- 假設我借了50美元
- 我借了50美元
- 假設它以利率r連續計算複
- 我們再假設連續計算複利十年
- 10年結束後 我欠500美元
- 複利計算的利率是多少？
- 所以再一次 我們可以運用相同的公式
- 我們可以說 好的 如果我的初始本金是50美元-
- 所以它是50美元乘以e的這一利率次方
- 我們不知道利率是多少
- 但是我們知道t等於10年 所以它的10r次方
- 這等於我的最終支付
- 或者說所有的利息和本金都複利計算時
- 我最後欠多少錢
- 這等於500美元
- 所以我們可以兩邊都除以50
- 你得到e的10r次方等於10
- 我們接下來怎麽解決呢？
- 好吧 我們可以在兩邊取以e爲底的對數
- 我希望 你可能會想複習一下對數
- 但是log e爲底
- 如果你感到困惑的話 e只是一個數字-
- 等於以e爲底10的對數
- 在你的計算器上以e爲底10的對數
- 經常被寫成自然對數
- 他們稱之爲自然對數
- 是因爲e在大量不同的
- 領域都有著廣泛的應用
- 它顯示的都是很自然的東西
- 我認爲那就是爲什麽它被稱爲自然對數
- 無論如何 讓我看看是否能找出
- Excel的自然對數函數
- 所以我需要找出自然對數 以e爲底10的對數
- 等於ln10
- 奧 好了
- 它在這：2.3
- 所以首先 如果我說以e爲底e的10r次方的對數
- 這就像是說e的多少次方等於e的10r次方？
- 所以這與10r相等
- 爲什麽是這樣？
- 因爲 請記住 對數是一個指數
- 所以這是說e的10r次方等於e的10r次方
- 如果不明白的話請複習我的對數影片
- 我知道開始時這會使人有些困惑
- 然後我們再算一下以e爲底的對數
- e的多少次方等於10 是2.- 數是多少？
- 2.30
- 現在-哦 這不是10的r次方
- 這是10r 對不對？
- 因此 我們要找出r是多少
- 我們兩邊都除以10
- 我們得到r等於0.23 或者23%
- 所以基本上
- 如果我以23%的利率持續計算複利
- 10年以後 我最終就欠了10倍的這些錢
- 把這個記住很有好處
- 無論如何 我就講到這裡
- 我鼓勵大家重新看看之前的幾個影片
- 玩轉一下這些數字
- 自己證明一下極限的存在
- 求出我們之前求出的那些極限
- 當n接近無窮時
- 1除以1加上n的n次方的極限
- 你必須要做的是證明
- 這僅僅是代入了越來越大的數字n
- 而且 當然 無論你帶入什麽數字
- 這裡也要一樣
- 你不能這裡用100萬 那裏用1萬億
- 你必須同時帶入兩個1萬億
- 或者100萬和100萬
- 你將會看到它收斂於e
- 重新觀看這些影片 確保你對我們做的每一件事情