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- 讓我們先來把上次影片裏面學到的概念
- 概括總結一下
- 假設我借入"P"元
- (這個字母P表示的是)"P"元,也就是我借得的
- 本金
- 那麽我在這邊寫個"本-金"
- 這裡的字母"r",表示利率,就是利息率
- 就是我借錢時候同意支付的利息率
- 也可以用百分比表示,我們在這裡寫成100r%,是吧?
- 然後,我要借多久呢---嗯
- 誰知道呢,"t"年吧
- 好,讓我們試著用等式寫出
- 在"t"年年末我應該還多少錢
- 咱們用單利和複利兩種計算方法都來試試
- 讓我們先來看單利,這個比較容易
- 在時間軸上,時間點爲0的時候
- 我應該還多少錢呢?
- 好,我在這個時間點開始借錢
- 如果我立刻歸還,那麽我僅需還本金"P"元,對吧?
- 時間軸1這個時候,我欠了本金"P"元+利息
- 在這裡這個利息看成是我對使用本金所支付的租用費用,那麽這裡就是"rP"
- 在上一個關於利息的介紹的影片裏面
- 在那個例子裏面,"r"我用了10%表示
- 本金"P"是100元。所以我在還錢的時候,得還10元
- 作爲使用本金的租用費用,也就是一共我得還110元
- 這個等同於"P(1+r)", 對吧?
- 乘進去以後,你可以得到"1P + rP"
- 到了第二年年末,咱們得還多少錢呢?
- 其實,每年我們需要支付的利息都可以表示爲"rP",是不是?
- 在上次那個例子裏,"rP"(利息)等於10元
- (單利計算時,利息率每年固定不變)因此如果這裡是10%,每年支付的利息都是固定的
- 都是本金的10%
- 所以在第二年年末,我們要還的錢變成了"(P+rP)+rP"
- 括號裏面是我們第一年期末要還的本金+利息,然後再加一個"rP"
- 也可以寫成"P(1+2r)"
- 把P提出來,得到了簡化公式
- "P(1+2r)"
- 第三年年末,就是在前兩年的基礎上再加第三年的利息
- 也就是"P+rP+rP+rP",最後這個"rp"表示第三年的利息
- 看到吧,不管"r"代表的是本金的10%還是50%
- 這裡我再寫上一個"rP", 看到了吧,無論是哪個,我的等式都可以寫成"P(1+3r)"
- 那麽在t年的年末,我欠了多少錢呢?
- 是的,這裡寫的P就是本金,用它來乘以"(1+tr)"
- 這裡應該寫成"tr"。(整個公式爲P(1+tr))
- 在這個地方,我們可以這樣理解這個公式,把這個"P"乘進去,每年我們都需支付"Pr"這麽多的利息
- 我們一共需要支付t年
- 那麽這樣想,這個地方就更好理解了
- 讓我們用點實際數字舉例看看
- 假設我借入了一些錢
- 建議你也要用幾個數字來動手做一做
- 千萬別死記硬背這些公式
- 假設我以15%的年利率借得50塊錢,咱們用單利來計算看看
- 讓我們來看借20年應該還多少,那麽到了20年年末
- 我欠的錢就應該是本金"50(1+20x0.15)",是不是?
- 也就是應該等於,20x0.15等於多少啊?
- 應該是3,對吧?
- 沒錯
- 好,那這個就成了50x4,結果等於200
- 那麽借了20年後,我應該歸還200塊
- 那麽,以15%的單利的年利率,借入50元,借款期爲20年
- 到期時,一共要還200元
- 這是在單利的情況下
- 這個就是單利的計算公式
- 下面我們來看看複利的計算公式
- 我來把這些先擦掉
- 哦我可不想這麽擦
- 好的,擦掉了
- OK,在複利情況下,第一年的利息計算和單利是一樣的
- 記得嗎?這個和單利的計算方法一樣
- 我們在之前的影片裏面看到過的
- 用我欠的本金"P",加上利息率乘以本金,即"rP"
- 結果就等於"P(1+r)"
- 就這麽簡單
- 從第二年開始,單利和複利的計算方法就完全不一樣了
- 在單利情況下,我們要做的就是加上一個"rP"
- 也就是"P(1+2r)"
- 在複利的情況下,這個"P(1+r)" (第一年的本金和利息之和)
- 變成了新的本金,對不對?
- 那麽如果這個是新的本金,我們需要支付的錢就變成了
- "(1+r)"乘以這個"P(1+r)" ,也就是新的本金,是吧?
- 我們的原始本金是"P"
- 在第一年年末,我們需要償還的錢就是用"(1+r)"乘以這個原始本金P
- 這個地方應該寫成 "(1+r)"
- 好的,那到了第二年年末,我們得把在第一年年末的償還的總數變成
- 新的本金,也就是"P(1+r)"
- 我們把這個新的本金再乘以r的百分比
- 也就是"P(1+r)(1+r)"
- 這裡就可以寫成"P(1+r)的平方"
- 所以你可以這樣來理解
- 以單利計算時,每一年我們加上一個"Pr"
- 在這個單利情況下,我們每年都是加上一個Pr,這裡寫成"(+Pr)"
- 如果假設本金50塊,年利息率15%,每年
- 我們就加上3塊,哦不對,應該加上是多少?
- 15%
- 應該是我們每年加7.5元的利息,在這裡"P"代表本金
- "r"表示了年利息率
- 如果用複利來計算,每年我們都得對
- "P(1+r)"做乘法,對吧?
- 那麽在第三年年末,我們應該用這個“P(1+r)的平方”
- 乘以"(1+r)"
- 在第三年年末,這個公式變成了"P(1+r)的三次方"
- 那麽到了t年年末,公式就應該是
- "本金P(1+r)的t次方"
- 讓我們同樣來看看實際的例子,還是剛才那個例子
- 我們用單利計算時,一共欠200塊
- 讓我們看看複利的方法計算的話,我們欠多少
- 本金是50塊
- 1加上。。。 利率是多少?
- 0.15
- 讓我們來借20年
- 這個等式就寫成了"50x1.15"的20次方
- 是不是寫在這看不清楚了,讓我們來看看
- 我得怎麽算出這個20次方
- 讓我來用Excel算一下,我把這些先去掉
- 其實我應該用我的滑鼠,不用這個筆
- 來清除這些
- 好,咱們隨便選一個空格
- 接著我在這個空格輸入,"+1.15的20次方"
- 其實你用任何計算器都可以算得,結果是16.37
- 好的,那這個地方就等於"50x16.37"
- "50x 16.37"的結果是多少?
- 輸入“+50 x"這個格(16.37),結果是818
- 好的,現在你知道了,如果有人借給你一筆貸款
- 他們對你說,哦,好吧,我借給你,你需要貸款20年對吧?
- 我願意借,貸款的年利率就15%好了
- 這時候特別要注意和他弄清楚
- 這15%的年利息率是按照單利計算的呢?
- 還是按照複利計算的?
- 如果是按照複利方法來計算的話,最後到期時
- 你看這裡,這樣說吧,爲了借到50塊,按照複利計息
- 而不是單利計息的話,你最後得多還618塊
- 更不幸的是,在現實生活中
- 絕大多數情況下計算利息的方法都是采用複利計算法
- 複利還僅僅是其中一部分,他們不僅僅是采用
- 一年複利一次,甚至也不是
- 半年複利一次,他們實際上用的是連續複利法來計算
- 這也是爲什麽你得來看接下來的幾個影片
- 我將在裏面介紹介紹連續複利是怎麽回事
- 真正開始學習連續複利裏的”e“的魔力
- 好吧,咱們下次影片再見