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利息 (第二部分 英語) : 更多單利與複利
相關課程
- 讓我們先來把上次影片裏面學到的概念
- 概括總結一下
- 假設我借入"P"元
- （這個字母P表示的是）"P"元，也就是我借得的
- 本金
- 那麽我在這邊寫個"本-金"
- 這裡的字母"r"，表示利率，就是利息率
- 就是我借錢時候同意支付的利息率
- 也可以用百分比表示，我們在這裡寫成100r%，是吧？
- 然後，我要借多久呢---嗯
- 誰知道呢，"t"年吧
- 好，讓我們試著用等式寫出
- 在"t"年年末我應該還多少錢
- 咱們用單利和複利兩種計算方法都來試試
- 讓我們先來看單利，這個比較容易
- 在時間軸上，時間點爲0的時候
- 我應該還多少錢呢？
- 好，我在這個時間點開始借錢
- 如果我立刻歸還，那麽我僅需還本金"P"元，對吧？
- 時間軸1這個時候，我欠了本金"P"元+利息
- 在這裡這個利息看成是我對使用本金所支付的租用費用，那麽這裡就是"rP"
- 在上一個關於利息的介紹的影片裏面
- 在那個例子裏面，"r"我用了10%表示
- 本金"P"是100元。所以我在還錢的時候，得還10元
- 作爲使用本金的租用費用，也就是一共我得還110元
- 這個等同於"P(1+r)", 對吧?
- 乘進去以後，你可以得到"1P + rP"
- 到了第二年年末，咱們得還多少錢呢？
- 其實，每年我們需要支付的利息都可以表示爲"rP"，是不是？
- 在上次那個例子裏，"rP"(利息)等於10元
- （單利計算時，利息率每年固定不變）因此如果這裡是10%，每年支付的利息都是固定的
- 都是本金的10%
- 所以在第二年年末，我們要還的錢變成了"（P+rP)+rP"
- 括號裏面是我們第一年期末要還的本金+利息，然後再加一個"rP"
- 也可以寫成"P(1+2r)"
- 把P提出來，得到了簡化公式
- "P(1+2r)"
- 第三年年末，就是在前兩年的基礎上再加第三年的利息
- 也就是"P+rP+rP+rP"，最後這個"rp"表示第三年的利息
- 看到吧，不管"r"代表的是本金的10%還是50%
- 這裡我再寫上一個"rP", 看到了吧，無論是哪個，我的等式都可以寫成"P(1+3r)"
- 那麽在t年的年末，我欠了多少錢呢？
- 是的，這裡寫的P就是本金，用它來乘以"(1+tr)"
- 這裡應該寫成"tr"。(整個公式爲P(1+tr)）
- 在這個地方，我們可以這樣理解這個公式，把這個"P"乘進去，每年我們都需支付"Pr"這麽多的利息
- 我們一共需要支付t年
- 那麽這樣想，這個地方就更好理解了
- 讓我們用點實際數字舉例看看
- 假設我借入了一些錢
- 建議你也要用幾個數字來動手做一做
- 千萬別死記硬背這些公式
- 假設我以15%的年利率借得50塊錢，咱們用單利來計算看看
- 讓我們來看借20年應該還多少，那麽到了20年年末
- 我欠的錢就應該是本金"50（1+20x0.15)"，是不是？
- 也就是應該等於，20x0.15等於多少啊？
- 應該是3，對吧？
- 沒錯
- 好，那這個就成了50x4，結果等於200
- 那麽借了20年後，我應該歸還200塊
- 那麽，以15%的單利的年利率，借入50元，借款期爲20年
- 到期時，一共要還200元
- 這是在單利的情況下
- 這個就是單利的計算公式
- 下面我們來看看複利的計算公式
- 我來把這些先擦掉
- 哦我可不想這麽擦
- 好的，擦掉了
- OK，在複利情況下，第一年的利息計算和單利是一樣的
- 記得嗎？這個和單利的計算方法一樣
- 我們在之前的影片裏面看到過的
- 用我欠的本金"P"，加上利息率乘以本金，即"rP"
- 結果就等於"P(1+r)"
- 就這麽簡單
- 從第二年開始，單利和複利的計算方法就完全不一樣了
- 在單利情況下，我們要做的就是加上一個"rP"
- 也就是"P(1+2r)"
- 在複利的情況下，這個"P（1+r）" （第一年的本金和利息之和）
- 變成了新的本金，對不對？
- 那麽如果這個是新的本金，我們需要支付的錢就變成了
- "（1+r)"乘以這個"P(1+r)" ，也就是新的本金，是吧？
- 我們的原始本金是"P"
- 在第一年年末，我們需要償還的錢就是用"（1+r）"乘以這個原始本金P
- 這個地方應該寫成 "（1+r）"
- 好的，那到了第二年年末，我們得把在第一年年末的償還的總數變成
- 新的本金，也就是"P(1+r)"
- 我們把這個新的本金再乘以r的百分比
- 也就是"P(1+r)(1+r)"
- 這裡就可以寫成"P(1+r)的平方"
- 所以你可以這樣來理解
- 以單利計算時，每一年我們加上一個"Pr"
- 在這個單利情況下，我們每年都是加上一個Pr,這裡寫成"（+Pr）"
- 如果假設本金50塊，年利息率15%，每年
- 我們就加上3塊，哦不對，應該加上是多少？
- 15%
- 應該是我們每年加7.5元的利息，在這裡"P"代表本金
- "r"表示了年利息率
- 如果用複利來計算，每年我們都得對
- "P(1+r)"做乘法，對吧？
- 那麽在第三年年末，我們應該用這個“P（1+r）的平方”
- 乘以"（1+r）"
- 在第三年年末，這個公式變成了"P(1+r)的三次方"
- 那麽到了t年年末，公式就應該是
- "本金P（1+r）的t次方"
- 讓我們同樣來看看實際的例子，還是剛才那個例子
- 我們用單利計算時，一共欠200塊
- 讓我們看看複利的方法計算的話，我們欠多少
- 本金是50塊
- 1加上。。。 利率是多少？
- 0.15
- 讓我們來借20年
- 這個等式就寫成了"50x1.15"的20次方
- 是不是寫在這看不清楚了，讓我們來看看
- 我得怎麽算出這個20次方
- 讓我來用Excel算一下，我把這些先去掉
- 其實我應該用我的滑鼠，不用這個筆
- 來清除這些
- 好，咱們隨便選一個空格
- 接著我在這個空格輸入，"+1.15的20次方"
- 其實你用任何計算器都可以算得，結果是16.37
- 好的，那這個地方就等於"50x16.37"
- "50x 16.37"的結果是多少？
- 輸入“+50 x"這個格（16.37）,結果是818
- 好的，現在你知道了，如果有人借給你一筆貸款
- 他們對你說，哦，好吧，我借給你，你需要貸款20年對吧？
- 我願意借，貸款的年利率就15%好了
- 這時候特別要注意和他弄清楚
- 這15%的年利息率是按照單利計算的呢？
- 還是按照複利計算的？
- 如果是按照複利方法來計算的話，最後到期時
- 你看這裡，這樣說吧，爲了借到50塊，按照複利計息
- 而不是單利計息的話，你最後得多還618塊
- 更不幸的是，在現實生活中
- 絕大多數情況下計算利息的方法都是采用複利計算法
- 複利還僅僅是其中一部分，他們不僅僅是采用
- 一年複利一次，甚至也不是
- 半年複利一次，他們實際上用的是連續複利法來計算
- 這也是爲什麽你得來看接下來的幾個影片
- 我將在裏面介紹介紹連續複利是怎麽回事
- 真正開始學習連續複利裏的”e“的魔力
- 好吧，咱們下次影片再見
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