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相關課程
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- 相信大家應該非常了解線性比例了
- 這是大部分數學課上見到的比較典型的
- 一種比例尺
- 那麽爲了讓大家清楚我們講的東西
- 或者說換一種思路來講
- 這裡畫一條線性數軸
- 先確定零點
- 下面要講的是
- 如果向這邊移動一段距離
- 向右移動這段距離
- 相當於加10
- 那麽以0爲起點加10
- 顯然這裡是10
- 如果再向右移動同樣距離
- 就又加了10
- 那麽得到20
- 顯然可以一直移下去 得到30
- 40 50 等等
- 這裡是向右移 同樣地
- 如果向另一方向移動
- 如果起點在這兒 向左移動相同的距離
- 明顯是要減去10
- 10-10=0
- 那麽繼續向左移動同樣距離
- 可以得到-10
- 再移一次 就得到-20
- 所以它的意思是 不管移動了幾次這段距離
- 本質上都是加幾次
- 或者說 這段距離向右移動了幾次
- 本質就是加10的幾倍
- 如果移動兩次 就加2乘以10
- 這不僅適用於整數
- 也適用於分數
- 5在哪裏呢？
- 要得到5 只能10乘以
- 一種思考方式是10
- 更確切的說 一種思考方式是 5是10的一半
- 那麽如果只移動10的一半
- 也就是只移動這段距離的一半
- 如果只移動一半
- 如果只移動一半
- 就得到1/2乘以10
- 這樣就得到5了
- 如果向左移
- 就得到-5
- 這裡沒有
- 把這個標在中間點處 -5
- 這裡沒有什麽新知識點
- 只不過換了一種新思路來講
- 這種思路有益於接下來理解對數數軸
- 但這個已經是大家所熟知的數軸了
- 如果要標上1 只需移動1/10的距離
- 因爲1等於10的1/10
- 那麽1 2 3 4
- 我可以在上面標注任何數值
- 這就是加10或減10的情況
- 但是用移動一段距離
- 表示另一種結果 也是完全合理的
- 看看是怎麽表示的
- 假設這裡又有一條數軸
- 是對數數軸
- 多留點空間
- 先在對數數軸上標1
- 這集影片講完後 請大家想想
- 爲什麽不是先標0
- 那麽如果以1爲起點 移動
- 仍然跟前面一樣的距離
- 同樣距離
- 應該再短一點
- 仍然用這段距離定義
- 但向右移動後不再是
- 表示加10了
- 這次向右移動這段距離
- 在這條剛畫的對數數軸上
- 向右移動後
- 相當於乘以10
- 那麽如果移動這段距離
- 起點爲1
- 就乘以10
- 得到
- 得到10
- 如果再乘以10
- 再乘以10
- 如果再移動同樣距離
- 就再乘以10
- 那麽就得到100
- 相信大家已經看清這裡的不同之處了
- 向左移動這段距離呢？
- 算是已經講過了
- 因爲從這裡開始
- 從100開始
- 向左移動這段距離
- 是什麽？
- 應該除以10
- 100除以10得到10
- 10除以10得到1
- 那麽如果再向左移動這段距離
- 就再除以10
- 得到
- 1/10
- 再向左移動這段距離
- 得到1/100
- 所以它的意思是
- 不管向右移動了幾次這段距離
- 都是用起點乘幾次10
- 舉個例子
- 如果移了兩次
- 這整段距離
- 我移了兩次
- 所以是乘以10再乘以10
- 相當於乘以10的平方
- 實際上 10乘方
- 向右移了幾次
- 就乘以幾次10
- 同理
- 如果向左移兩次這段距離
- 換一種新顏色
- 如果向左移兩次這段距離
- 就相當於除以了兩次10
- 除以10 再除以10
- 另一種思路
- 相當於乘以
- 1/10的平方
- 或者說 再換一種思路
- 除以10的平方
- 所以這樣應該
- 比較直觀了 希望如此
- 大家可以看出對數數軸的好處了
- 在這條數軸上
- 可以標注更大的數據範圍
- 比它範圍更大
- 這裡可以標到100
- 也有像1/10 1/100這樣精細的
- 尺寸間隔
- 而這裡既沒有精細的間隔
- 也沒有大的數據範圍
- 這裡如果再延長
- 就到1000 然後10000 等等
- 所以在這條數軸上
- 數據範圍可以非常大
- 而這個數軸另一個巧妙之處在於
- 當移動特定距離
- 當在線性數軸上移動特定距離
- 是加或減一個數
- 如果向右移就是加
- 向左移就是減
- 而在對數數軸上移動
- 對所有的對數數軸來說都
- 表示縮放某個定值
- 要理解這個定值的一種思路是
- 用指數的概念
- 那麽假設要
- 標定數軸上2在哪裏？
- 這時就該想
- 如果問數軸上100在哪裏
- 如果之前還沒標注100
- 先用100講會更好理解
- 數軸上100在哪裏呢？
- 就該思考 乘了幾次10得到的100呢？
- 也就是移了幾次
- 所以實質上問的是
- 10的幾次方等於100
- 可以得出問號等於2
- 那麽就需要移2次 然後標注100
- 也可以這麽說
- log以10爲底100的對數等於問號
- 問號顯然等於2
- 也就是說 100應該標在右移兩倍距離後的位置
- 而要想標出2的位置
- 跟前面一樣
- 要算
- 10的幾次方等於2？
- 或者說log以10爲底2的對數是幾？
- 可以調出計算器
- 輸入log
- 大部分計算器上只寫log 不特別標明底數
- 都約定底數是10
- log2約等於0.3
- 0.301
- 所以它等於0.301
- 這個結果表示
- 需移動這段距離乘以這個比例 就到達2
- 如果移動整段
- 是乘以10的1次方
- 而要標10的0.301次方
- 就需要移0.301倍的這段距離
- 大約在1/3處
- 標上
- 大約
- 比1/3稍微小一點
- 0.3而不是0.33
- 那麽2應該在
- 2應該在
- 再向右移一下
- 所以2應該在這裡
- 非同尋常的是
- 對數數軸上的這段距離
- 表示乘以2
- 所以如果再移同樣距離
- 就得到4
- 如果再移同樣距離
- 就是乘以4了
- 如果再移同樣距離就得到8
- 那麽
- 這條數軸上5應標在哪裏呢？
- 有多種方法算
- 可以算log以10爲底5的對數
- 然後知道應標在哪裏
- 也可以 看
- 如果以10爲起點
- 向左移這段距離
- 表示除以2
- 向左移動這段距離表示除以2
- 這裡寫的有點亂
- 我可以再錄一集影片
- 講講怎麽畫才清楚明了
- 如果10爲起點向左移動這段距離 也就是除以2
- 所以這裡
- 應該是5
- 下一個問題
- 3在哪裏？
- 跟標注2的方法一樣
- 應該問
- 10的幾次方等於3？
- 要算它
- 還是得把計算器調出來
- log以10爲底3的對數等於0.477
- 大約在1/2處
- 所以應該移動大約一半的距離
- 所以差不多到這裡
- 3應該在這兒
- 我們可以算對數
- 這裡還缺6 7 8
- 已經有8了
- 還缺9
- 那麽要標9只需再乘以3
- 這是3
- 如果移動相同距離
- 就是再乘以3
- 9夾在這裡
- 所以9夾在這裡
- 如果要標6
- 只需再乘以2
- 乘以2所需的距離已知
- 這段距離
- 那麽再乘以2
- 移動相同距離得到6
- 如果要標出7在哪兒
- 還是要算對數
- 在這上面算
- 輸入log7
- 大約是0.85
- 所以7大體上
- 夾在這兒
- 大家已經看到很多巧妙之處
- 還可以標注更多對數尺度
- 在我和Vi Hart做的那集影片裏
- 她講了
- 如何用對數尺去度量一些事物
- 所以對數尺度也能很好地
- 幫助人們觀察結果
- 但還有一點也非同尋常
- 就是在對數數軸上移動某個特定距離
- 表示乘了一個定值
- 跟其他數軸不一樣的是
- 大家可能已經注意到
- 這上面的數字並不像通常看到的那樣排列
- 1和2間隔較大
- 2和3間隔小一點
- 3到4更小
- 4到5更小
- 5到6更小
- 然後7 8 9
- 7在這兒
- 間隔越來越窄
- 靠的越來越近