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相關課程
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- 現在我們
- 已經掌握了極坐標
- 和笛卡爾坐標之間轉換的所有公式
- 希望你們能有直觀的認識
- 這是二維平面上
- 表示點的兩種方法
- 笛卡爾坐標中
- 爲到達某一點
- 橫坐標表征左右移動的距離
- 縱坐標表征上下移動的距離
- 而在極坐標中
- 角度表征移動的方向
- r可以看作是半徑
- 表征在這個方向上移動的距離
- 對吧？
- 所以只是表示某一點的兩種方法
- 之後我們會看到一些函數
- 用極坐標表示更爲簡便
- 而另一些函數更適合
- 用笛卡爾坐標表示
- 在求解函數之前
- 先利用這些公式
- 做幾個小題
- 給定極坐標
- (4,150°)
- 將其轉換爲
- 笛卡爾坐標
- 也就是(x,y)
- 首先要做的是直觀地
- 確定點的位置
- 如果給出坐標(x,y)
- 可能已經很清楚地
- 想象出點的位置
- 但是極坐標相對陌生
- 我們試著畫一下
- 對我而言 我習慣在極坐標中
- 首先考慮角度
- 150°
- 如果從x軸出發
- 這是90°
- 整個角是180°
- 差30不到180°
- 所以是這個方向
- 對吧？
- 這個角是150°
- 個人認爲角度比弧度
- 更爲直觀
- 這是因爲
- 日常生活中都是用到角度
- 然後我們說
- 已經指定了方向
- 移動多遠呢？
- 表示
- 沿150°方向移動4個單位長度
- 4個單位長度
- 不是這個方向
- 沿這個方向移動4個單位長度
- 換一種顏色
- 假設這是1 2 3 4
- 這就是點(4,150°)
- 我們要將其轉換爲笛卡爾坐標
- 直覺告訴我們
- 橫坐標爲負數
- 縱坐標爲正數
- 對吧？
- 看一下是否如此
- 上次課中
- 我們得到了哪些公式？
- 我們推導出x=rcosθ
- 是由"soh cah toa" 推導的
- 沒什麽特別
- y=rsinθ
- 那麽坐標 x=rcosθ
- 等於
- 換一種顏色書寫
- x等於
- 現在用的是笛卡爾坐標
- rcosθ
- r=4
- 所以是4cos150°
- 那麽y等於
- 4sin150°
- 現在拿出計算器
- 好了
- 算一下
- 餘弦值--輸入
- 4cos150°
- 確保是在角度模式下
- 不要讓計算器以爲你們
- 輸入的是150弧度
- 等於-3.46
- 所以橫坐標爲-3.46
- 那麽縱坐標呢？
- 等於4sin150°
- 等於2 講得通
- 我是說如果仔細觀察的話確實如此
- 1 2 3 比3稍微大一些
- 看起來是-3.46
- 然後向上1,2
- 看起來是+2
- 所以我們的直覺是正確的
- 可以將方向取爲
- 150°
- 然後在該方向上前進
- 也可以
- 左移3.46然後上移2個單位長度
- 我們完成了極坐標到
- 笛卡爾坐標的轉換
- 不錯
- 現在更進一步
- 我們來學習函數表達式在極坐標
- 和笛卡爾坐標
- 之間相互轉換
- 我在網上隨便搜了
- 一些習題
- 第一題 要求
- 將x方+y方=4轉換爲
- 極坐標形式
- 對吧？
- 希望你們能直觀意識到
- 這是一個圓
- 對吧？
- 實際上用極坐標
- 表示的話更加明顯
- 我們推導的公式呢？
- 我們得到x方+y方
- 等於r方
- 這是勾股定理
- tanθ等於對邊除以鄰邊
- 也就是y/x
- 還得到
- y=rsinθ
- x=rcosθ
- 這些公式都是由"soh cah toa"
- 和勾股定理推導的
- 如果爲了準備極坐標
- 相關考試需要記憶什麽內容的話
- 那就是這四個公式了
- 我不喜歡記憶
- 實際上我並不記憶這些公式
- 而是在
- 考試的前10秒鍾將公式寫下來
- 或者重新推導
- 那樣就不會忘記了
- 不管怎樣 將其轉換爲極坐標
- 已經得到
- x方+y方
- x方+y方等於
- r方
- 改寫一下
- 就是r方=4
- 那麽
- r可能取+2或-2
- 對吧？
- 實際上無關緊要
- 可以寫爲r=2
- 這意味著什麽？
- 實際上
- 用圖形表示很有啓發性
- 我之前沒準備講
- 但是有必要說明
- 我是說簡單的一次方程r=2
- 怎麽會表示一個圓呢？
- 什麽是圓？
- 圓是以某一點爲中心
- 半徑爲常數的點的集合
- 對吧？
- 這表示半徑爲常數
- 半徑爲2
- 如果取距離爲- 這是1 2
- 也就是說不考慮角度
- 這個函數不考慮角度
- 表示半徑爲常數
- 與角度無關
- 如果角度爲0 半徑爲2
- 如果角度
- 角度爲30° 半徑仍爲2
- 角度60° 半徑仍爲2
- 不論什麽角度半徑恒爲2
- 我應該用圓規畫
- 繞原點一周
- 半徑恒爲2
- 距離恒爲2
- 不論什麽方向
- 從某種程度上講 這就是圓的定義
- 圓在極坐標下
- 表示更爲簡單
- 半徑爲2
- 這是一個圓
- 再做下一題
- 把這部分擦掉
- 因爲我想在這裡書寫
- 把這塊擦掉
- 好了
- 開始求解
- 好了
- 第二題是(x方+y方)
- 等於9乘以(y/x)方
- 好了
- 看一下哪些公式能用到
- x方+y方
- 那麽r方
- 等於9乘以
- 看一下 y/x
- 很熟悉
- tanθ=y/x
- 所以這是tanθ
- 等於9乘以(tanθ)方
- 對等式兩邊
- 同時取平方根
- r等於
- 因爲是取平方根
- 所以包括正負值
- 兩種情況
- 所以r等於
- 正負3tanθ
- 正負號還是無關緊要
- 這在極坐標中很常見
- 講一下半徑爲負值所代表的意義
- 這樣你們就能明白
- 爲什麽上個例子中半徑取值無關緊要
- 取爲-2或者+2都可以
- 對於給定的角度-
- 我只是想讓你們對負半徑
- 建立起直觀的認識
- 如果半徑爲正值
- 則沿這個方向
- 如果半徑爲負值
- 則方向相反
- 所以這是+r
- 這是-r
- 方向相反
- 向相反方向
- 所以在上個例子中
- 不論什麽角度 半徑恒爲2
- 所以如果角度是這個方向
- 那麽半徑爲2
- 或者說
- 半徑恒爲-2
- 當沿這個方向時
- 半徑爲-2
- 半徑恒爲-2
- 但是歸根結底是一樣的
- 不論半徑爲正值或負值
- 等式所對應的圖形相同
- 所以可以寫爲
- r=3tanθ
- 如果你們還有疑惑 我覺得加上
- 正負號也沒有關係
- 下一題
- 把這些擦掉
- 時間到了
- 下次課再講