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更多極限 (英): 更多極限的例題
相關課程
- 我被要求多做點極限的題
- 那麽我們來多練習一下
- 我們看下
- 第一道題該出什麽呢？
- x趨向0時
- (x-2|x|)/|x|的極限是多少
- 這道題會立即使大家感到迷惑的
- 就是絕對值了
- 要怎麽處理它呢？
- 不能只是簡單地相減
- 如果這裡是個x 就很好做了
- 因爲那樣可以化簡
- 可以用x減掉2x然後除以x
- 接著就得到答案了
- 但這裡有個絕對值
- 所以不能直接進行操作
- 如果可以去掉絕對值會怎樣呢？
- 應該怎麽做？
- 爲了使這個極限存在
- 爲了讓這個極限-- 我不知道
- 假設它等於L
- L是我們要求的
- 爲了使這個極限存在
- 那麽x趨向0時的左右極限
- 也要存在
- 我的意思是什麽？
- 就是說這樣也必須是對的：
- 當x從右邊趨向0時
- 從正數開始趨向0
- (x-2|x|)/|x|的極限
- 必須等於L
- 同時我們也知道
- 當x從負數趨向0時
- (x-2|x|)/|x|的極限
- 也必須爲L 對吧？
- 如果這個-- 如果-- 當我們從左邊趨向0時
- 得到一個數
- 從右邊趨向0時 得到了相同的一個數
- 那麽我們知道
- 不論從哪個方向趨向0
- 就是上面這個式子 結果都會趨向那個數
- 我們來計算下這兩個極限
- 如果結果相等
- 那麽問題就解決了
- 當x從右邊趨向0時
- 我們該怎麽化簡呢？
- 它和
- 當x從右邊趨向0時--
- 如果我們知道x是從右邊趨向0的
- 那麽x是怎樣的？
- x是正數 對吧？
- 是從右邊趨向0
- 所以x是正數
- 我們可以去掉這些絕對值符號
- 得到(x-2x)/x
- 這就等於
- 當x從右邊趨向0時
- 我們看一下
- 這是x-2x
- 也就是-x 對吧？
- 是-x
- -x除以x是-1
- 所以當x從右邊趨向0時
- 的極限是-1
- 答案是-1
- 好的
- 接下來討論下面的情況
- 當x從左邊趨向0時
- 應該怎麽考慮？
- 如果x是負數 那麽|x|是多少呢？
- 當x是負數時
- |x|等於-x 對吧？
- 如果x是-- 這樣想：如果x是-1
- 取x的絕對值時
- 實質上是乘以了-1
- 所以另一種寫法是
- 它等於當x從左邊趨向0時
- x減去2乘以多少？
- x的絕對值等於-x
- 希望這對你們有幫助
- 我們在討論負數時
- 取負數的絕對值
- 和用那個數乘以-1
- 以使它成爲正數
- 是一樣的 不是嗎？
- 接著 當然
- 由於我們在考慮負數
- 所以分母上的|x|
- 也等於-x
- 看一下可不可以化簡
- 所以那表示當x從左邊趨向0時
- 其極限-- 看一下
- 有x-2乘以負x
- 兩個負號相消
- 得到x+2x
- 也就是3x除以-x
- 等於-3
- 有趣了
- 當從左邊趨向0時
- 得到了一個不同的數
- 當我從左邊或者右邊趨向0時
- 得到的數不同
- 所以看起來極限是不存在的
- 我們來證明一下
- 我看一下可不可以--
- 我用圖形計算器證明一下
- 把它打上去
- 那麽x減-- 我會展示給你們我要做什麽 x--
- 以便你們不會感到厭倦 x減|x|
- 再除以|x|
- 我看一下
- 畫出來這個
- 那麽這裡出現了什麽呢？
- 縮小一下
- 這是-- 這對嗎？
- x減|x|-- 額 對不起
- 是x-2|x|
- 畫出來
- 好了
- 甚至這個--
- 現在你們還看不到
- 圖形計算器證明了之前我們做的
- 雖然圖上把它們連起來了
- 會使你們認爲它們在一起
- 但那僅是因爲選了這些點並畫了出來
- 所以你們可以看到 當從右邊開始逼近時
- 會趨向-1 對吧？
- 實際上當從右邊開始逼近時
- 一直是在-1
- 當從左邊開始逼近時
- 得到-3
- 所以x爲0時 極限不存在
- 你們會說L無定義
- 關於極限有一個卑鄙的方法
- 不能說是卑鄙的方法
- 從理論上來說你們不該做錯一道求極限的題
- 爲什麽呢？
- 你們應該會用解析法解決
- 但如果你們不知道怎麽做
- 可以代入很小的數
- 試一下-- 代入的話-- 試一下0.0001
- 再試一下稍微大一點的數
- 不論得到的數是多少
- 接下來再試一下小點的
- 如果有個計算器 可以從數字的角度
- 看到極限是多少
- 有時甚至不需要計算器
- 可以在腦海浬計算
- 代入0.01或者接近的數
- 總之 我們做下一題吧
- 反轉顏色
- 好的
- 做一下當x趨向0時
- sin5x/2x的極限
- 這和sinx/x看起來很像
- 我們知道sinx/x
- 是什麽來著？
- 如果你們不相信我
- 看一下我們用夾逼定理進行的證明
- 我們證明了x趨向0時
- sinx/x的極限等於1
- 這個式子和它很像
- 如果能把它變成這種形式就太好了
- 那樣就做出來了
- 那麽我們該怎麽做呢？
- 我們試著替換一下
- 我們試著在這換成一個單獨的變量
- 而不是5乘以一個變量
- 我們用品紅色來做替換
- 假設a等於5x
- 或者說-- 兩邊同時除以5
- 得到x=a/5
- 我們開始做代換
- 這個-- 當x趨向0時的極限
- 和什麽是一樣的呢？
- 當x趨向0時
- a也趨向0 對吧？
- 所以它和a趨向0時的極限是一樣的
- 或者可以這樣想：當a趨向0時
- x也趨於0
- 雖然以1/5的速度 但是一樣的
- 好的
- 總之 應該說成是a趨向0時的極限 對嗎？
- 希望你們可以理解
- 當a趨向0時--
- x同樣是趨向0的 對吧？
- 因爲a趨向0時
- x也會趨於0
- 所以可以寫成
- 當a趨向0時sina/2x的極限
- 但x等於a/5
- 所以是2a/5
- 所以就等於當a趨於0時
- sina/2/5a的極限
- 這都是一樣的
- 可以把這個提出來
- 可以把分母上
- 這個1除以2/5提出來 對吧
- 這只是個常數項
- 所以可以把它提到極限外面
- 很明顯如果我們把它提出分母
- 它會翻轉 對吧？
- 因爲這是1除以2/5或者5/2
- 也就是等於5/2-- 對吧？
- 我僅僅把它提出分母 它會翻轉
- 對的 因爲是1除以2/5
- 乘以當a趨於0時sina/a的極限
- 現在已經很像這個式子了
- 僅僅是把x換成了a
- 但這不會有什麽影響
- 那麽這個等於1
- 所以整個式子- 因爲它等於1 變成了5/2
- 再強調一下 如果得到答案後
- 你們不確定
- 拿出計算器-- 計算一下
- 5乘以0.001的正弦是多少？
- sin0.005乘以2倍的0.001 也就是乘以0.002
- 如果計算一下 你們會得到一個
- 很接近這個的數字
- 這是近似的
- 實際上是2.5
- 可能你們會得到類似於2.49999
- 或者類似的數
- 下一題
- 好的
- 當x趨向0時的極限-
- 這兩個看起來很接近
- 只是sinx^2/x^2
- 有一些平方項
- 它和sinx/x看起來很像
- 但這有平方項
- 我該怎麽做呢？
- 這是一樣的--
- sinx^2/x^2
- 這和x趨向0時
- (sinx/x)的平方是一樣的 對吧？
- 如果把這個提出來 應該對分子平方
- 對分母也取平方 會得到這個
- 如果拿-- 如果想改變這個
- 我不會說簡化
- 這很有趣
- 這個2是-- 這是個常數項
- 不會改變極限
- 所以本質上可以說
- 它等於
- 當x趨向0時
- (sinx/x)^2的極限
- 那麽它等於多少呢？
- 如果這裡有個x就做不出來了
- 因爲那樣會改變極限
- 但這個是常數項
- 所以這個-- 當x趨於0時
- 這個底是唯一會改變的--
- 所以我可以
- 我想你們會說
- 這又回到之前影片中的證明了
- 當x趨向0時
- sinx/x的極限是多少？
- 對的
- 是1
- 1的平方是多少？
- 結果是1
- 你們得到答案了
- 我已經占用你們13分鍾了
- 希望你們認爲這還有點用
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