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參數式 1 (英): 介紹參數式
相關課程
- 假設有一個懸崖
- 我來畫一個懸崖
- 假設是50米高
- 懸崖上有一輛車
- 這輛車不僅位於懸崖上面
- 而且正在行駛
- 一個激動人心的問題
- 車在這兒
- 正在以5米每秒駛向懸崖邊
- 我想知道 車掉落懸崖時
- 的軌迹是怎樣的
- 我們建立一個坐標軸
- 這是y軸
- 這是x軸
- 這是y 這是x
- 這個點是--
- 我們知道這是50米高的懸崖
- 或許y=0對應海平面
- 所以這裡應該是50
- 懸崖邊上的這點
- 假設是x=10
- 所以這一點是(10,50)
- 假設車就在該點
- 正要駛下懸崖
- 此時爲0時刻
- 這點是0時刻
- t代表時間
- t=0
- 那麽我的問題是 當車駛下懸崖時
- 情況是怎樣的
- 這是個物理上的問題
- 不過我不想深入討論物理
- 我不會證明那些定律
- 如果你們想知道這些公式的來源
- 我建議你們去看一下運動學
- 以及抛體運動的影片
- 現在重要的是得到公式
- 並畫一下軌迹圖
- 如果我想知道 x作爲時間的函數--
- 用一種好一點的顏色-- 那麽x作爲時間的函數
- 是什麽呢？
- 假設我們處在
- 一個沒有空氣的星球
- 我們處在真空中
- 所以如果從x方向以
- 5米每秒的速度向右行駛
- 不會因爲氣動阻力或者摩擦或者其它因素降速
- 牛頓運動定律：運動中的物體會一直處於運動狀態
- 除非它受到一個合力的影響
- 現在x方向不會有任何合力
- 所以會一直以5米每秒的速度
- 向右行駛
- 那麽位置 或者距離
- 就等於速度乘以時間
- 速度是5 乘以時間
- 當然 並不是從x=0開始的
- 這是0時刻
- 因此是從x=10出發
- 那麽你們知道-- 應該是x(0)
- 也就是開始的地方 加上10
- 這應該比較好理解 對吧？
- 在0時刻 這一項沒有
- x等於10
- 這講得通
- 在1時刻 我們應該稍微--
- 我們會行駛出去5米 如此這般
- 有道理
- 這是x作爲時間參數的函數
- 你們可能會意識到
- 這是一個關於參數方程的影片 不是關於物理
- 所以較早地提出參數這個詞比較好
- 參數
- 當人們談到參數方程時
- 會認爲時間就是參數
- 雖然參數可以是任何東西
- 可以是半徑或者角度或者任何其它的
- 那麽我們計算一下y作爲時間的函數是多少
- y作爲時間的函數
- 等於初始時刻y的位置
- 或者說y(0) 也就是50
- 我們在空中50米高處
- 加上y方向的初始速率
- 實際上y方向
- 初始速率是0
- 車沒有跳起來 也沒有潛下去
- 只是水平向右行駛
- 懸崖支撐著它
- 所以沒有y方向的速度
- 不過如果你們好奇
- 它應該是y的速率乘以時間
- 但由於沒有y方向的速度
- 至少初始時刻沒有
- 所以我在這不寫東西
- 加上重力加速度乘以時間的平方除以2
- 我們想得出這個公式
- 你們懂的 我是說 接觸一點
- 物理知識是很好的
- 這樣你們就會知道這些公式是怎麽來的
- 也會知道
- 用參數方程的動機
- 重力是豎直向下的
- 向下在這個題裏是y負方向
- y值在減小
- 實際上-- 你們知道 這不準確
- 不過重力在大多數教科書中
- 都是9.8m/s^2
- 不過爲了簡化
- 我們取近似值
- 10m/s^2
- 那就是這個星球上
- 所有物體下落時的加速度
- 由於沒有空氣 我們假設這個星球
- 比地球質量大一些
- 由於車在向下掉 所以方向是負的
- 那麽在上面的公式中 在初始位置
- y方向沒有速率 所以這裡沒有速度乘時間
- -10m/s^2 乘以t^2/2
- 你們可以看一下抛物運動的影片
- 搞清楚是怎樣得到這些公式的
- 但那不是這裡的要點
- 這裡的關鍵在於畫出車的軌迹
- 並學習一些關於參數方程的知識
- 那麽車駛下懸崖時的軌迹是怎樣的呢？
- 我們畫一個表
- x和y是第三個參數t的函數
- 所以我們要給t不同的值
- 計算出x和y是多少
- 我會任意地選擇一些t的值
- t=0
- t=1 2 3
- t=0時 x是多少？
- x(0)-- 這是0 x等於10米
- t=1時 x是多少
- 這是x=1 對吧？
- 如果我用那個表示方法的話
- 所以5乘以1是5 加10是15
- x(2)呢？
- 5乘2加上10 是20
- 這樣講得通
- 每秒都向右移動5米
- 或者x以5米每秒的速度增大
- 那麽t=3時 是15+10 等於25
- 很簡單
- y就難一點了
- 爲了簡化 這是5 對吧？
- 10除以2
- 所以50-5t^2
- 0時刻 這一項爲0
- y處於50米高處
- t=1時 1的平方是1 乘以5 是5
- 50-5=45
- 對吧？
- 對的 t=1時 50 對
- t=2時 2的方是4
- 4乘以5是20
- 50減20是30
- 最後 t=3--
- 剛才我說最後
- 因爲3是我們選的最後一個數
- t=3時
- 3的平方是9
- 9乘5=45
- 50-45=5
- 那麽我們來畫一下這些點
- t=0時
- 對應那裏
- t=1時 x=15
- 大概是 這是5 10 15--
- 我把它們都畫出來-- 15 20 25
- 接著y軸-- 標出來
- 當我們在這-- 這大概是10 20 30 40 50
- 所以0時刻 位於(10,50)
- 也就是那個點
- t=1 在(15,45)
- x=15 y=45 也就是那裏
- 這是t=1
- t=2 在坐標軸上的(20,30)
- 大約在那
- 這是t=2時的位置
- t=3 在(25,5)這點
- 在那裏
- 如果繼續的話
- 在某點我們會落到地上
- 你們可以計算
- 實際上-- 設y爲0
- 可以求出落地的準確時間
- 我們來做一下
- 如果y是0 50--
- 得到t=根號10
- 大約是三點幾秒
- 這講得通 不是嗎？
- 3秒後一點 我們會撞到地上
- 但是 車的軌迹是什麽？
- 應該是看起來像這樣的
- 開始向下加速
- 然後撲通落下
- 在3點幾秒撞到地上
- 現在有趣的是
- 通過給參數取值 我們不僅得到了這條曲線
- 我們得到了這條曲線 是半條抛物線
- 半條向下的抛物線
- 我們實際上還可以消去t
- 得到抛物線的方程
- 以後的影片中我們會那樣做
- 但有趣的是 通過列參數方程
- 我們知道了車的方向
- 如果僅看圖 不看車以及其它
- 我所畫的東西
- 你們不會知道車降落的方向
- 但現在我們知道 隨著t增加
- 車是向那個方向行駛
- 所以我們可以在這畫一些箭頭
- 因爲這是個參數方程
- 我們可以畫一些箭頭
- 最重要的是我們可以確切的知道
- 任何時刻車所在的位置
- 你們可以代入t=1.25
- 然後會知道車在哪
- 接著可以畫出這些點並發現
- 隨著時間增加 我們在向下加速
- 這就是爲什麽每過一秒鍾
- y向下的距離越來越大
- 總之 我只是想給你們講下這個例題
- 即使這是一道很好的物理題
- 但本意不是教你們物理
- 本意是告訴你們參數方程
- 存在的意義
- 這兩個式子就是參數方程
- 定義x和y爲第三個參數t的函數
- 而不是像以前做的那樣
- 定義y爲x的函數或者x爲y的函數
- 這很有用
- 我是說 你們可以想象
- 當你們遇到很難的物理題
- 要求某物的
- 三維空間中的位置
- 就可以設x爲t的函數
- y爲t的函數 z也爲t的函數
- 所有有趣的問題
- 都用參數方程表示 不僅是物理中如此
- 但總之 我認爲一個好的開始在於了解其目的
- 因爲我第一次學參數方程時
- 我在想 爲什麽要加入第三個參數t
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