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參數式 2 (英): 消去變數
相關課程
- 上個影片 我們用一組參數方程
- 描述一輛車駛下懸崖時的位置
- 當時的方程是 x作爲t的函數--
- 我寫出來--
- x(t)等於10 我確信
- 幾個小時前我做過的
- 我想這就是我剛說的 10+5t
- y(t)=50-5t^2
- 曲線應該是這樣
- 我重新畫一下
- 不會有影響
- 這是y軸
- 這是x軸
- 當t=0
- 可以把t=0代到這
- 會得到(10,50)這點
- 那麽點(10,50)在這
- 這是0時刻
- 上個影片還畫了其它幾個點
- 我想t=1時 在那
- t=2時 大約在那
- t=3時 看起來應該在那
- 這就是車
- 撞向地的軌迹
- 但這個參數方程實際上
- 不僅描述了這部分曲線
- 它描述了一條向兩個方向延伸的曲線
- 應該是像這樣
- 如果畫一下t=-1
- 這兒得到什麽？ 得到-5
- 10-5=5
- 把-1代入這個式子 變成正1
- 所以得到點(5,45)
- 也就是在那裏
- 如果t=-2 會得到一點
- 大約在那裏
- -3 會得到一個在那的點
- 所以參數方程描述的整個曲線
- 看起來會是這樣的
- 我們換種顏色
- 看起來是這樣
- 當x增加時的方向--
- 對不起 是t增加時 方向是這樣的 對吧？
- 從t=-3 -2 -1
- 0 1 2等等
- 所以上個例子中的曲線只是
- 參數方程所描述曲線的一個子集
- 我說這些的原因是
- 有時 用某些特定的t值來
- 制限參數方程是有用的
- 例題中 我們從t=0出發
- 一直到車撞到地上
- 所以如果想確定邊界
- 我們知道第一個邊界是t=0
- 上個例子中
- 因爲我們討論汽車駛下懸崖時
- 時間是從0時刻開始的
- 所以t大於等於0
- 接著必須計算
- 當車撞到地上時t的值
- 或者說y=0的時刻
- 因爲當y=0時-- y是高度
- y=0時 也就代表撞到了地上
- 求到什麽時刻y=0
- 就有0=50-5t^2
- 算一下
- 0=50-5t^2
- 我用這個公式並令y=0
- 因爲那是車撞到地上的時候
- 兩邊同時加5t^2
- 得到5t^2=50
- 兩邊同除以5 t^2=10
- t=根號3
- 你們可以說是正負根號3
- 因爲這是-- 我們在時刻t撞到地上
- t是根號-- 對不起
- t=根號10
- t=根號10
- 我在心裏算成3是因爲
- 我在想 根號10 是3點幾
- 那麽這是t=根號10
- 大約是3點幾
- 我不知道具體是多少
- 我或許應該拿計算器算一下
- 不過這並不重要
- 如果我們取
- 正負根號
- 這裡就是t=負的根號10
- 外面有個負號
- 如果時間可以倒退
- 也許車會在那撞到地上
- 但記住 我們的例子中
- 時間是不能倒流的
- 如果時間可以倒退
- 我們實際上是在峰值處
- 接著會有一組
- 不同的參數方程
- 來表示車
- 一直在這個峰值上行駛
- 所以如果想描述車的軌迹
- 我們就應該進行制限
- 在t大於等於0少於根號10時
- 這是我們的參數方程
- 很有道理
- 現在 下一件有趣的事是 你們知道
- 我們把這些參數方程
- 一般化 也就是說不進行制限
- 那它會是怎樣的呢？
- 如果脫離這個例子 那麽參數方程的曲線
- 會一直延伸
- 會是這個方向 對吧？
- 會以這個方向移動
- 但我們能不能
- 把參數方程表示爲普通的形式呢？
- 也就是y表示爲x的函數
- 或者x表示爲y的函數
- 我們試一下
- 最簡單的方法是 重新寫一下
- 那麽我們擦掉黑板
- 有x=10+5t
- y=50-5t^2
- 如果我們想把它轉化爲
- 只有y和x的方程 該怎麽做呢？
- 我們必須用x或者y表示t
- 然後代入另一個方程裏
- 上面的方程比較簡單
- 因爲它是線性的
- 這個就有點複雜了
- 求出來的t是帶根號的
- 這就很複雜了
- 所以我們用這個
- 如果想表示t
- 兩邊同時減10
- 有x-10=5t
- 同除以5
- 有t=x/5-2 對吧？
- 10除以5是2 t等於這個
- 現在 可以用這個結果代入第二個方程
- 這就是t 對吧？
- 所以用這個式子替代t
- 因爲它就等於t
- 方程變爲
- y=50-5(x/5-2)^2
- 現在 化簡一下
- 它就等於-- 換種顏色
- y=50-5((x^2)/25-4x/5+4)
- 是-4x/5+4
- 接著如果乘以-- 這裡是y
- 所以得到y=50減去
- 5乘以-- 負5除以25 也就是負1/5
- 所以減x^2/5
- 然後負5乘以-4/5 等於正4x
- 然後負5乘以4 就是負20
- 快得出結果了
- 把50和-20相加 得到y--
- 這有點暗--
- y=-x^2/5+4x+30
- 現在做完了
- 我們剛剛化簡了
- 這組參數方程
- 變成了這個方程 y是x的函數
- 你們可能會說 Sal
- 爲什麽我們不一直用這種形式呢
- 這更簡單 而且也可以直接畫出圖
- 並且知道如何處理
- 它僅是包含y和x的方程
- 沒有第三個變量t
- 如果你們只想知道曲線的形狀
- 這樣是可以的
- 用這個方程 如果畫出曲線
- 確實會得到一個抛物線
- 一個向下的抛物線
- 看起來和那個差不多
- 但是從這兩個方程
- 轉化爲這一個
- 你們丟失了信息
- 如果說這個方程描述了一個物體的軌迹
- 某個物體 不一定是這輛車
- 我們已經超出那道題的範圍了
- 方程描述了一個物體的軌迹
- 只有這個方程
- 你們不知道這個物體-- 這個物體是否沿這個方向運動？
- 是不是像這樣？
- 還是說沿著另一個方向運動
- 像我們的車那樣
- 是否沿那個方向運動？
- 我們不知道 因爲我們不知道
- 它如何根據時間運動
- 相似的 如果我告訴你這個是物體的運動軌迹
- 然後問你5秒後物體在哪？
- 你們也不知道
- 因爲這僅僅告訴你們圖像上-
- x相對於y在哪或者y相對於x在哪
- 沒有告訴你們5秒後的位置
- 所以我們丟失了那些信息
- 我們丟失了這個點是t=0
- 這是t=1 這是t=2
- 這是t=3 這是t=根號10
- 這就是爲什麽參數方程有用
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