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參數式 3 (英): 在更有趣的例題中消去變數
相關課程
- 我們看一下是否可以在一個
- 更有意思的例子中來消去參數t
- 假設x=3cost
- y=2sint
- 我們可以試著像上期影片裏那樣消去t
- 也就是用x或者y把t表示出來
- 然後代回原方程
- 我來做一下
- 不過我首先那樣做的目的是告訴你們
- 這會得出一個難理解的或者說不那麽直觀的答案
- 那麽如果我們求出-- 我們要從這裡解出t
- 可以用任何一個方程 因爲它們複雜度是一樣的
- 那麽如果從這個方程解出t
- 可以兩邊同除以2
- 會得到y/2=sint
- 然後對兩邊取反正弦
- 或者對兩邊取逆正弦
- 你們會得到-- 我比較喜歡寫反正弦
- 因爲逆正弦會使人們困惑
- 好像有指數似的 像給它加上-1次方
- y/2的反正弦等於t
- 我在這旁邊寫吧
- 我應該在三角學的影片中講過
- 不過複習一下是件好事
- 因爲大家會被迷惑
- 那麽y的反正弦
- 其另一種寫法是sin^(-1) y
- 這兩個在通常使用時是等同的
- 但我大多數時候不喜歡用這個符號
- 因爲它可能引起歧義
- 這可能表示siny的-1次方
- 也就等於1/siny
- 反正弦和它可完全不是一個概念
- 所以你們要很小心
- 確保別人寫出像這樣的逆正弦時
- 自己不會被搞混
- 不過它們絕不是
- 對siny取-1次方
- 另一方面 如果有人寫出sin^(2) y
- 那麽毫無疑問 它和(siny)^2是一樣的
- 實際上 我希望這個是更常見的符號
- 因爲它不會使人們想起
- 那兒有個2 那裏有-1 當然
- 這個就只是(siny)^2
- 所以這樣表示會有歧義
- 如果這是負--
- 這裡是-2的話
- 這裡就是1/(siny)^2
- 這就是爲什麽我對在那寫了反正弦
- 而不是逆正弦做這麽長解釋的原因
- 好了 我們還是回到原題
- 我們已經用y表示了t
- 現在我們可以代回去了
- 我們會得到x用y表示的表達式
- 那麽x=3cost
- 剛才已經求出t了 t等於這個式子
- 所以它是cos(arcsiny/2)
- 我們已經消去參數了
- 但這是個很不直觀的方程
- 我們可以用另一種方法做
- 用x來表示y
- 那麽會得到arccos的正弦
- 結果同樣難以理解或者說不直觀
- 但不論哪種方法 我們都消掉了參數
- 所以我想我們可以小小的自滿一下
- 不過以上並不是這期影片的目的
- 本期影片目的在於看看
- 能否找到一種方法 這種方法可以
- 消去參數並得到一個更直觀的包含x和y的方程
- 我們將要做的是
- 我想你們可以稱它爲一個小技巧
- 但它卻是經常出現的
- 特別是處理極坐標的時候
- 你們可能想看一下我極坐標的影片
- 因爲這涉及到了這些內容
- 但不管怎樣 如果我說-- 我重新寫一下
- x=3cost y=2sint
- 我們要做的就是想一下應該怎麽寫
- cost以及sint
- 該怎麽聯係起來呢？
- 我首先想到的是單位圓
- 它從某種程度上說
- 是所有三角恆等式中最基本的等式
- 也就是
- (cost)^2+(sint)^2=1
- 這個式子是從單位圓得來的
- 我在單位圓的影片裏解釋過了
- 因爲單位圓的方程是
- x^2+y^2=1
- 角的餘弦是x坐標
- 正弦是y坐標
- 如此這般
- 但這是我們的三角恆等式
- 你們現在不必過多地思考它
- 我想你們只要知道這是對的就行
- 如果想證明的話
- 就看一下其它的一些影片
- 不過如果我們能把這個cos平方項
- 換成包含x的表達式
- 並把sin或者sin平方項
- 換成包含y的表達式 那問題就解決了 對吧？
- 之後就是這個式子等於1
- 那應該不會太難
- 我們可以把它重寫
- 可以變成cost等於什麽x
- sint等於什麽y
- 來做一下
- 把方程兩邊同除以3
- 得到x/3=cost
- 再把這個方程兩邊同除2
- 得到y/2=sint
- 接著就可以用這個三角恆等式
- 把cost換成x/3
- sint換成y/2
- 就得到(x/3)^2-- 就是那樣
- 那就是(cost)^2-- 加上(y/2)^2--
- 也就是(sint)^2-- 等於1
- 現在這個看起來比這個要好多了
- 我不知道這個方程是什麽意思
- 不過如果你們看過圓錐曲線的影片
- 你們會發現
- 這個有點像一個橢圓
- 可以把它稍微化簡一下
- 就等於
- (x^2)/9+(y^2)/4=1
- 如果要把這個橢圓畫出來
- 實際上我們正要那樣做-- 我把坐標軸畫出來
- 我用藍色用的有點多了
- 這樣有些單調
- 我換成紫色吧
- 那麽這是x軸
- 這是y軸
- 長軸在x方向上
- 因爲這裡的分母比那個大
- 而這就是長半軸半徑--
- 長半軸半徑應該是它的平方根 也就是3
- 在這個方向 1 2 3
- 1 2 3
- 我知道這個橢圓以0爲中心
- 因爲這兩個都沒移位
- 如果對我講的這些不熟悉
- 你們應該看一下圓錐曲線的影片
- 短半軸半徑是4的平方根
- 也就是2
- 這裡有1 2
- 1 2
- 我看一下能不能畫出來這個橢圓
- 它看起來應該像這樣
- 這就是你們要的
- 就像那樣 通過消去參數t
- 我們得到了一個可以立即
- 識別出是橢圓的方程
- 當我看那個方程時
- 除非對參數方程進行變換
- 或者借助極坐標 否則是不容易看出
- 這是一個橢圓的參數方程
- 但一旦你們學過圓錐曲線
- 這個就看起來很清楚了
- 它描述的是個橢圓
- 畫出那個橢圓是很簡單的
- 但是就像上期影片一樣 在消去t以及
- 從上面這些方程
- 轉化到這個的過程中
- 我們丟失了信息
- 一個是隨著t增加時的
- 移動方向
- 還有我們也不知道任意給定時間t下
- 我們位於橢圓上的哪一點
- 那麽我們來求一下 畫一個表
- 取一些t的值
- 畫一個關於t x y的表
- 爲t選取一些具體的值很有用
- 記住-- 我再重新寫一下方程
- 以免我們忘了-- x=3cost
- y=2sint
- 選取一些不用計算器就可以
- 求出其正餘弦的t值很方便
- 爲了簡單 假定t單位是弧度
- 所以我們選t=0
- t=π/2
- 也就是90度--
- 以及t=π
- 那麽t=0時x是多少呢？
- cos0是1 再乘以3 是3
- t=π/2時x是多少？
- cosπ/2是0
- 0乘以3是0
- t=π時x等於什麽？
- cosπ是-1
- -1乘以3是-3
- 好了
- 現在求一下y
- t=0時y是？
- sin0是0
- 2乘以0是0
- t=π/2時 sinπ/2=1
- 1乘以2是2
- t=π時 sinπ--
- 也就是180度的正弦-- 是0
- 2乘以0是0
- 那麽我們把這些點畫出來
- 當t=0時 處於點(3,0)
- 那麽(3,0)-- 在那
- 這就是t=0時刻
- 當t增加到π/2時 如果這是秒
- π/2大約是1.7幾秒
- 所以t=π/2時 位於點(0,2)
- 也就是在這裡
- 這是t=π/2時
- 當t再增加一些--
- 當t=π時到了點(-3,0)
- 在這裡
- 那麽這是t=π
- 也可以寫成3.14159秒
- 3.14秒
- 實際上我想說明一點
- t不一定是時間
- 我們不一定非要以秒爲單位
- 但我喜歡那樣思考
- 我喜歡想成 也許這是描述某個物體
- 在軌道上運行 我不確定 也許是別的什麽
- 現在我們知道方向了
- 隨著t從0增加到π/2再到π 我們沿這個路徑
- 逆時針運動
- 所以t的參數方程
- 是那個方向
- 你們可能會說 Sal
- 爲什麽我們要取3個點呢
- 我們可以只取兩個點 然後畫一條線
- 如果只有那個點和那個點
- 你們可能會立即說
- 我們從這向那運動
- 但那真的不夠
- 因爲也許是以另一條路
- 從這移動到那
- 因此考慮到這個問題 第3個點讓我們知道
- 其運動方向肯定是逆時針
- 如果我們對t僅從0到無窮取值會怎樣呢？
- 如果我們對t進行制限 t大於0
- 少於無窮
- 那麽我們會一直
- 繞著這個橢圓轉
- 很多次
- 一直轉下去 無窮次
- 如果t從負無窮到正無窮
- 也會一直那樣
- 我想路徑就是這樣
- 或者如果我們只想追蹤一次路徑
- 可以從t少於等於--
- 或者大於等於0開始
- 一直到t少於等於2π
- 這種情況下
- t就是我們所追蹤的角度
- 如果我們在極坐標中思考
- 這是任意給定時間的t
- 我以爲我已經寫出來了
- 雖說並不總是這樣 但在這種情況下是的
- 從0到2π就是1個圓周
- 但這是討論參數方程的 不是三角學
- 所以我不想在那上面花太多力氣
- 但總之 那很簡潔
- 當我們以這個作爲開始
- 如果我只給你們那兩個參數方程
- 你們不知道它的軌迹是什麽
- 但是有了三角恆等式之後
- 我們可以把它化簡成一個橢圓並畫出來
- 然後通過繪制幾個點
- 如果方程描述的是一個運動中的粒子
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