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參數式 4 (英): 沿著同意條路徑 "移動" 的參數式
相關課程
- 上個影片
- 上個影片我們從這兩個參數方程開始
- x=3cost y=2sint
- 通過一些代數變換
- 消去了參數
- 並把它轉化爲一個方程
- 可以從該方程直接看出其軌迹是橢圓
- 得到的方程是(x^2)/9+(y^2)/4=1
- 我們把它畫了出來
- 現在我要畫一下
- 實際上這是上節課的-- 我們畫了出來
- 並得到了這個曲線
- 我們也曾說過
- 爲什麽不一直用這個方程來表示？
- 這個方程--這個只包含x和y的方程
- 僅僅代表軌迹的形狀
- 並不代表實際路徑--
- 假設t代表一個物體
- 在某時間地點的位置
- 我們講過
- 隨著時間推移
- 這種情況下 我們繞橢圓旋轉
- 隨著時間增加 一直保持繞橢圓旋轉
- 這就引出了一個問題：
- 這是唯一一組可以通過做代數運算
- 而給出這個軌迹的
- 參數方程嗎？
- 能否想出另一組參數方程
- 通過代數變換得到這個嗎？
- 我想是可以的
- 我們來試幾個
- 我的意思是還可以找出很多這樣的方程
- 實際上 或許我們將要找出更多的來
- 爲了明白--
- 隨後你們就會明白
- 實際上有無數組參數方程
- 都滿足這個路徑
- 其中一個可以是x=3cos2t
- y=2sin2t
- 正如上期影片中做的那樣
- 我們解出cos2t和sin2t
- 因此要兩邊同除--
- 上面的方程兩邊同除3
- 得到x/3=cos2t
- 這個方程兩邊同除2
- 得到y/2=sin2t
- 利用之前用的三角恆等式
- 我們做這個題時
- 用的是(sint)^2+(cost^2)=1
- 如果它成立 那麽這個也成立
- 讓我看看
- 如果它成立 那麽我們可以說
- (sin2t)^2+(cos2t)^2=1
- 實際上 任何數的正弦的平方
- 加上任何數餘弦的平方
- 只要它們是同一個數
- 不能一個是2t 一個是3t
- 如果這裡是2 這裡也是2
- 那這個式子就等於1
- 你可以用任何數替換
- 因爲這個角總是一樣的
- 所以如果這個式子成立
- 我們就可以用它替換cos2t
- 用y/2替換sin2t
- 那麽(sin2t)^2變成了
- (y/2)^2 加上-- cos2t是x/3 再平方
- 等於1
- 這就是我們開始時的方程
- 它和(x^2)/9+(y^2)/4=1
- 是一樣的
- 僅僅是交換了順序--
- 所以這兩組參數方程
- 兩組參數方程都有完全一樣的軌迹
- 那它們的區別在哪呢？
- 我們看一下
- 如果要取-- 上期影片裏
- 我們對黃色的這組參數方程--
- 實際上我在這重新寫了一遍
- 畫了一個表並繪制了
- 圓周上的一些點
- 所以我們要對新的參數方程也這樣做
- 那麽爲了防止忘掉 我把兩個方程寫在這
- x=3cos2t
- y=2sin2t
- 我來做一個表
- 好了
- 表中應該有t
- 還有x和y
- 對t選相同的值
- 0 π/2 π
- t=0時 cos2t
- 也就是cos0 等於1 乘以3 是3
- t=π/2時 2乘以π/2是π
- cosπ/2是-1
- -1乘以3是-3
- t=π時 對2π取餘弦 也就是cos2π
- cos2π和cos0相等
- 所以是1
- 1乘以3是3
- 接著看y
- t=0時
- 是2乘以0的正弦
- 等於0
- π/2
- sin(2・π/2)
- 就等於sinπ
- 也是0
- 0乘以2是0
- 接著是π
- sin2π
- 仍然是0
- 所以這裡得到了3個0
- 那麽現在是什麽情況？
- 我換種顏色來做
- 第一種情況下-- 它們都--
- 我們建立了這組參數方程
- 和這組參數方程
- 我想可以說 它們都有
- 完全相同的軌迹
- 都是這個橢圓
- 但我們在上期影片裏知道
- t=0時畫出的點
- 是在-
- 這個點就在那兒
- 接著t=π/2 在那
- t=π 在這裡
- 我們這樣做是爲了確定運動的方向
- 如果這組參數方程
- 描述的是某種運動
- 那麽其方向會是逆時針的
- 那麽這組參數方程情況是怎樣的呢--
- t=0時 仍在(3,0)這點
- 所以至少-- 在t=0時
- 如果假設從t=0開始
- 那麽你們可以認爲它們開始於同一點
- 不一定非要從t=0開始
- 上期影片我說過這點了
- 你們可以從t等於負的無窮小
- 或者從t等於負無窮開始
- 因此不一定要有個確切的開始的點
- 但如果假設t=0是起始點
- 那麽你們可以認爲它們開始於同一點
- 接下來-- 我選個沒用過的顏色
- 當t=π/2時-- 在哪個位置呢?
- 在點(-3,0)
- 我們順著--
- 這和我之前用的顏色一樣了
- 我看一下
- 我用這種顏色
- 我們在這
- 現在注意：第一組參數方程中
- 當我們從t=0到t=π/2時
- 我們是從這兒到那兒
- 我們繞橢圓運動了1/4周
- 但這裡當我們從t=0到π/2時
- 我們的路徑是怎樣的？
- 我們繞橢圓走了半周
- 從這一直到那
- 類似的 這組參數方程
- 從t=π/2到t=π
- 走了橢圓的另一個1/4周
- 從那到那
- 但在這裡 當我們從t=π/2到t=π
- 是這樣的
- 回到了橢圓上的起始點
- 所以你們看到了
- 這兩組參數方程
- 其軌迹有完全一樣的形狀
- 但這一組運動的速率是另一組兩倍
- 因爲在這裡每當t增加π/2
- 都會繞橢圓1/4周
- 而這種情況每增加π/2
- 都會繞橢圓半周
- 所以要認清的是--
- 我知道之前我講過這點了--
- 即使這兩組參數方程
- 都可以經過代數變換
- 從而得出這種曲線形狀
- 但卻在這種過程中丟失了
- 粒子繞橢圓旋轉的的位置
- 或者旋轉速率
- 等這些信息
- 這就是爲什麽你們需要這些參數方程
- 我們甚至可以建立一組
- 反方向運動的參數方程
- 不用這些方程
- 我鼓勵你們試一下
- 如果替換掉這個
- 在這裡加一個負號
- cos-t和2sin-t
- 那麽它就會以
- 和這裡相反的方向旋轉
- 會沿順鐘向轉動
- 那麽你們一開始可能
- 就在想的一件事情是
- 我可以從參數方程
- 轉變爲這個只包含x和y的橢圓方程
- 那麽可不可以變回去呢？
- 可以從這個變成這個嗎？
- 我想現在你們可能意識到了 答案是不能
- 因爲僅根據這裡給出的信息
- 沒辦法知道
- 應該變回這個參數方程
- 還是這一個
- 或者無窮個參數方程中的其它任意一個
- 我的意思是所有的
- x等於3倍的任何數乘以t的餘弦
- 以及y等於3倍的--
- 只要和上面的一樣--
- 我用這兩個彎曲的符號表示同一個數
- 只要這兩個相等
- 那麽就會有-- 它們就都可以變成這個形式
- 所以如果只有這個方程 你們不知道
- 它可以轉化成哪個參數方程
- 你們可以編一個
- 但實際上你們並不知道它會變回哪一個
- 爲了找到
- 建立一個參數方程的要點
- 有時會要求你那樣做
- 所以我們舉一個很簡單的例子
- 以一個普通的x的函數開始
- 假設有方程
- y=x^2+x
- 我是隨便寫的
- 如果要求你們把它
- 變成參數方程
- 這經常會成爲人們的難題
- 因爲沒有確切的答案
- 你們可以轉化成一個
- 任意的參數方程
- 我可能會很瘋狂很隨意的解答
- 可以說x等於-- 當y像這樣明確地
- 被定義爲x的函數
- 我可以把x表示成任意包含t的表達式
- 可以說x=cost-lnt
- 這個式子是我編的
- 隨機想的
- 不過如果x是這樣的 那麽y應該等於--
- 把這個代回去--
- (cost-lnt)^2
- 加上cost-lnt
- 完成了
- 我們把這個式子轉化爲了一個參數方程
- 或者說一組參數方程
- 我也可以寫成x=t
- 那麽y是多少？
- y應當是t^2+t
- 你們可能會問
- 這兩個參數方程
- 區別是什麽？
- 它們軌迹的形狀
- 都是一樣的
- 類似於抛物線
- 但是它們在軌迹上
- 前進的速度和方向
- 完全不同
- 實際上這是一件想起來很有趣的事
- 你們可以取一些軌迹--
- 假設--
- 你們可以建立一個參數方程
- 假設其形狀是--
- 目前爲止我們做的所有題
- 都是一個方向
- 不過你們可以-- 會有這種情況--
- 如果我有時間
- 可能會做一期影片
- 這並不是-- 假設軌迹的形狀
- 是類似於-- 我不確定
- 假設是個圓
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