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Efficiency of a Carnot Engine : Definition of efficiency for a heat engine. Efficiency of a Carnot Engine.
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- 今天我要給大家介紹
- 熱機效率的概念
- 它由希臘字母η表示
- 雖然這個字母發音有點像e
- 它看起來卻像一個搞笑版的n
- 所以這個希臘字母η 它代表效率
- 熱機中的效率
- 和我們日常生活中所說的效率
- 有些類似
- 如果我說
- 你利用時間的效率怎麽樣
- 我的意思是
- 你在我說的時間裏都做了什麽？
- 如果我說 你花錢的效率是什麽
- 我指的是 如果我給你100刀
- 你能買多少東西？
- 熱機的效率也是類似的
- 我給你一些東西
- 你能用來做什麽？
- 在熱機領域中
- 我們把效率定義成…
- 本質上就是
- 用我給你的能量 多少做了功
- 而在卡諾熱機裏
- 這是我以前講過的東西
- 我給你提供了多少能量？
- 呐 我給你的能量就是
- 從這兒第一個熱源中獲得的能量
- 要記住
- 從A點到B點 移走石子的時候
- 我們移走石子
- 是爲了保證它處於準靜態過程
- 所以如果需要 還可以原路返回
- 所以係統整個過程中都處於平衡
- 如果這裡沒有熱源
- 溫度就會降低
- 因爲體積膨脹了
- 就是這些啦
- 所以我們要放一個熱源在這裡
- 我們已經算過很多次啦
- 熱源向係統傳遞的熱量是Q1
- 這個熱量和那段過程中
- 係統所做的功是等價的
- 所以功的大小就是整個陰影的面積
- 而不僅僅是曲線圍起來的面積
- 所以係統吸收的熱量是Q1
- 當環境對係統做功的時候
- 係統還要放出來一部分熱量
- 但是我們關心的是
- 我們得到的熱量
- 所以這樣 熱量是Q1
- 係統做了多少功呢？
- 係統做的淨功就是陰影部分的面積
- 也就是卡諾循環圍起來的面積
- 這就是熱機效率的定義
- 效率的數值是分數的形式
- 有時候也用百分數表示
- 其中...如果它等於0.56的話
- 就說熱機效率是56%
- 實際上就是說
- 熱機可以把
- 得到熱量的56%傳遞出去
- 進而轉換成有用功
- 所以至少我覺得
- 這樣定義熱機效率很合邏輯
- 現在我們看看 效率有什麽用處
- 然後研究一下效率
- 和卡諾循環中其他的變量的
- 關係
- 係統所做的功是多少？
- 好啦 我們學過熱力學能的定義
- 熱力學能的定義
- 比你以前想象的重要得多
- 盡管方程很簡單
- 熱力學能的變化
- 等於係統吸收的淨熱量
- 減去係統所做的功
- 對不對？
- 這時 當完成一個卡諾循環的時候
- 也就是從A轉一圈兒回到A
- 實際上...
- 這裡我說一點題外話
- 你其實可以
- 反向循環
- 用第一種循環方向走一圈
- 也就是順時針
- 得到的是卡諾熱機
- 熱機做功
- 然後將熱量從T1傳遞到T2
- 如果反過來走一圈
- 這實際上就變成了卡諾制冷機
- 就是環境對係統做功
- 我後面會講到這些的
- 它的能量傳遞方向和熱機相反
- 理解這點 對於證明爲什麽
- 卡諾熱機是最理想的熱機非常重要
- 至少是從理論上來講
- 或者從效率的角度來看
- 當然前提是你只關心熱機效率
- 好啦
- 回到原來的話題
- 如果我在P-V圖上
- 完成一個完整的循環
- 最終回到A點
- 那麽熱力學能的變化是多少呢？
- 是0
- 熱力學能是狀態函數
- 所以熱力學能的變化是0
- 熵的變化還是0
- 熵也是一個狀態函數
- 從A到A 熵不變化
- 所以在循環過程中
- 我們知道 熱力學能的變化是0
- 那麽係統吸收的淨熱量是多少？
- 好啦 係統先吸收了熱量Q1
- 然後又放出了熱量Q2
- 對不對？
- 係統把熱量Q2給了冷源
- 熱量傳遞給了T2
- 也就是傳遞給了第二個熱源
- 然後減去功…
- 這個整體等於0
- 這是淨熱量
- 我要講清楚
- 這是係統吸收的淨熱量
- 那麽係統做的功…
- 方程兩邊同時加上W
- 就得到W=Q1-Q2
- 搞定
- 我們把它代入一下
- 可以用Q1-Q2代替W
- 作爲效率定義式中的分子
- 分母仍然是Q1
- 我們再稍微算一下
- 它簡化了… 這是Q1
- 這是吸收的熱量
- 所以這是係統吸收的淨熱量
- 除以係統吸收的熱量
- 那麽它就等於…
- Q1/Q1等於1
- 減去Q2/Q1
- 這次得出的
- 是效率的另一個有趣的定義式
- 這是通過熱力學能定義等等
- 這是通過熱力學能定義等等
- 計算得到的
- 下面來看看我們能否
- 把效率和溫度聯係起來
- 我呢… 這是Q1
- 那Q2和Q1分別是多少？
- 它們等於什麽？
- 如果不看符號
- 它們的絕對值分別是什麽？
- 我是說 我們知道
- Q2是係統放出的熱量
- 所以如果從吸收熱量的角度來看
- 那麽Q2
- 就是一個負數
- 但是如果我們只想知道Q2的絕對值
- 那是多少
- Q1的絕對值又是多少？
- 好啦 Q1的絕對值等於…
- 我重畫一個卡諾循環
- 這樣看著能清楚一點兒
- 我在這兒畫一個小點的卡諾循環
- 橫軸是體積V
- 縱軸是壓力P
- P和V
- 從某個狀態開始
- 開始等溫過程
- 用什麽顏色表示等溫膨脹好呢？
- 紫色應該不錯
- 它有點… 試試看
- 這是等溫膨脹
- 沿著等溫線移動
- 那麽沿著它往下
- 到達另一個狀態
- 到達狀態B
- 這是A到B的過程
- 我們知道這是等溫的
- 這時係統吸收了Q1的熱量
- 這是個等溫線
- 如果溫度不變的話
- 熱力學能也不改變
- 就像我原來說的
- 如果熱力學能的變化是0
- 那麽係統吸收的熱量
- 就等於係統所做的功
- 它們相互抵消掉了
- 這就是爲什麽變化是0
- 所以係統吸收的Q1的熱量
- 它一定等於係統所做的功
- 而做功的大小
- 就是曲線下的面積
- 我們已經算過好幾次了
- 爲什麽會等於曲線下面積大小呢？
- 因爲它是無數個
- 壓力乘以體積的長方形
- 然後把這些長方形都加起來
- 把無數個無限窄的長方形加起來
- 就得到了曲線下面積
- 這個面積是什麽？
- 複習一下
- 壓力乘以體積等於功
- 對不對？
- 因爲氣缸的體積膨脹了
- 活塞向上移動
- 我們用力乘以距離得到功
- 熱量Q1就等於積分…
- 或者說所做的功
- 等於 從結束時的V到…
- 我不應該叫它結束時的V
- 應該是從VB 狀態B的體積
- 哦 抱歉
- 是從狀態A的體積VA 到VB的積分
- 係統從狀態A開始
- 體積變化成狀態B的VB
- 然後對壓力進行積分…
- 我已經算過幾次了
- 不過再來一次吧
- 所以壓力 也就是長方形的高
- 乘以體積的變化 也就是dV
- 我們回到理想氣體物態方程
- 就是PV=nRT
- 方程兩邊同時除以V
- 得到P=nRT/V
- 所以就得到 Q1等於
- 從VA到VB
- 對這個式子的積分
- 對nRT/V dV積分
- 這一塊
- 它們都是常量
- 要記住這是個等溫過程
- 溫度保持不變
- 溫度可以表示爲T1
- 因爲溫度是T1不變
- 溫度是T1
- 係統在T1的等溫線上
- 因爲整個係統都在熱源T1的附近
- 這幾個都是常數
- 所以可以把它提到積分前面
- 積分的近似推導已經講好幾次了
- 所以我不打算再講怎麽積分了
- 因此Q1等於常數項nRT1
- 乘以這個定積分
- 積分符號裏面只剩下1/V
- 它的反導數是lnV
- 然後代入積分上下限
- 就得到lnVB-lnVA
- 也就等於ln(VB/VA)
- 好啦
- 這個就是Q1
- 喲西
- 那麽Q2等於什麽？
- Q2是在卡諾循環裏的這個過程
- 也就是C到D放出的熱量
- 所以Q2的絕對值等於
- 這條曲線下的面積
- 這次是環境“對係統”做的功
- 所以我們求係統“對外”做的淨功時
- 就要減去它
- 你減去這部分和這邊的部分之後
- 就得到了圍起來的面積
- 如果我們想算出Q2的大小
- 只需要對曲線積分
- 那麽對曲線的積分是多少呢？
- 這是係統放出的熱量
- 因爲是環境對係統做功
- 所以是放出熱量
- 所以積分…
- 或者直接說Q2的大小…
- 我在這兒算...
- Q2等於...
- 同理可得
- 只是積分上下限不同了
- 現在我們是從… 記住啦
- 如果我們要考慮積分方向
- 我就會說 從VC到VD積分
- 但是如果我只想知道
- 這部分面積的絕對值
- 因爲我只想知道它的大小
- 我也可以從VC到VD積分
- 計算它的絕對值
- 或者也可以反過來從VD到VC
- 這樣就直接得到一個正值
- 那我就反過來積分啦
- 所以它等於VD到VC的積分
- 別忘了 循環的方向是從VC到VD
- 但是我只想求它的絕對值
- 我想要得到正值
- 所以可以反過來算
- 對P dV積分
- 前面就算過了
- 得到Q2等於nR…
- 這次溫度是T2
- 係統在T2的冷源上面
- 再乘以ln…
- 這次是多少？
- 乘以ln…
- 這次不是VB/VA啦
- 這次是VC/VD
- 現在我們把上面這兩個表達式
- 代入回熱機效率定義式中
- 代入回熱機效率定義式中
- 我們剛剛學過
- 你可以把熱機的效率
- 寫成等於1-Q…
- 我們回來看一眼
- 是1-Q2/Q1
- 那麽我們代入Q1和Q2
- 就得到什麽啦？
- 就得到 熱機的效率
- 等於1減去…
- Q2的表達式是這個
- 等於nRT2 ln(VC/VD)
- 這一整塊再除以Q1
- 也就是這個式子
- 等於nRT1 ln(VB/VA)
- 現在我們可以約掉一些項
- 很顯然 n和R可以約掉
- 然後剩下的就是自然對數還有溫度
- 不過我前面做過一整集來詳細證明
- VC/VD等於VB/VA
- 呐 已知它們相等
- 那麽它和它就相等
- 它們的自然對數肯定也相等
- 所以它們也可以約掉
- 那麽還剩下什麽？
- 剩下的結論是
- 卡諾熱機的效率也可以寫成
- 寫成1-T2/T1
- 記住咯 這次 我們得出的結論
- 適用於任何熱機
- 它涉及到一點點數學知識
- 和功的概念 然後…
- 好啦 我現在不打算再講啦
- 但是這個結論是由卡諾熱機導出的
- 對嘛？
- 因爲我們導出的過程
- 遵循了卡諾循環
- 但這是個非常重要的結論
- 因爲我們下集
- 馬上會講到
- 卡諾熱機
- 其實是可能存在的效率最高的熱機
- 嗯 你要很認真地對待這個概念哦
- 我們提到“效率”的時候
- 它指的是在兩個不同溫度的熱源之間
- 你做不到比卡諾熱機更高效的熱機了
- 你做不到比卡諾熱機更高效的熱機了
- 我不是說它是最好的熱機
- 也沒說它是個現實的熱機
- 也沒說你可以把它用在割草機上
- 或者噴氣飛機上
- 我只是說
- 它是在兩個不同溫度的熱源之間
- 效率最高的熱機
- 下集我就會講到了