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Exponential Decay Formula Proof (can skip, involves Calculus) : Showing that N(t)=Ne^(-kt) describes the amount of a radioactive substance we have at time T. For students with background in Calculus. Not necessary for intro chemistry class.
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- 半生期的概念很有用
- 如果涉及到的時間增量
- 是半生期的倍數
- 比如 在時間是0的時候
- 物質剩余爲100%
- 然後時間等於一個半生期
- 物質剩余爲50%
- 如果時間等於兩個半生期
- 就會剩余25%的物質
- 以此類推
- 所以如果已經經過了3個半生期
- 比如說碳
- 就大約是15,000年
- 我可以大致告訴你
- 或者是幾乎準確地說
- 我還剩下原來元素的多少
- 比如碳-14(C14)
- 我會告訴你
- 初始的碳14中
- 沒有衰退成氮的百分比
- 也就是氮14
- 而且這很好用
- 但是如果我關心的是
- 1/2年之後剩余多少碳
- 或者是在1/2個半生期之後
- 或者是30億年之後
- 或者在10分鍾之後？
- 如果我需要一個通用函數怎麽辦
- 一個通用函數 時間的函數
- 它可以告訴我衰減物質的
- 數目 或者說它的總量
- 這就是我們這集要做的事
- 這會有點數學
- 但我覺得用到的數學非常簡單
- 尤其是如果你上了
- 大一的微積分
- 所以實際上這是
- 它的一個非常簡單的應用
- 我們先來看一下
- 變化率
- 或者機率
- 或者是某一時刻
- 反應的粒子的數目
- 那麽
- 在很小一段時間中
- 粒子數目的差量或變化
- 或者粒子的多少
- 由什麽因素決定？
- 這就是在給定時間段內
- 粒子的變化量
- 這就是變化率
- 所以一方面
- 我們知道變化率在變小
- 我們知道這是個負數
- 我們知道 在放射性放射衰變中
- 和物質積累是一樣的做法
- 只是我會說 哦不
- 這個不是負數
- 積累取決於我們有多少
- 而在這個例子中
- 衰減的數量是成比例的
- 但是它是
- 實際化合物的量的負值
- 我解釋一下
- 所以我說的是 看
- 衰減的數量和
- 我們現有的物質的數量
- 是成比例的
- 爲了讓它更加直觀一點點
- 假想一種情況
- 其中有1×10^9
- 也就是有10億個碳原子
- 假設這裡
- 有1×10^6個碳原子
- 如果你觀察它在
- 很小的一個時間段之內
- 比如 如果觀察在1秒鍾之內
- 假設是dt
- dt就是一個極小的時間段
- 但是也可以說它是時間的變化量
- 它是Δt
- 比如說在1秒鍾內
- 觀察到這個樣品有...
- 嗯…
- 比如觀察到了1000個碳原子
- 實際上無法看到這些碳14
- 而這只是爲了表達更直觀一些
- 比如說在1秒鍾之內
- 這裡每秒鍾發現1000個碳原子
- 所以在這個樣本中能發現
- 1000比上10億的它的數量
- 所以 你在這裡觀察到的1000個
- 正在衰減的原子
- 那麽你就會在這裡發現
- 每秒鍾1個碳原子
- 因爲這裡的總數較小
- 現在我不知道這個常數到底是多少
- 但是我們知道
- 無論討論何種物質
- 這個常數都取決於物質本身
- 碳的和鈾的不同
- 也會不同於
- 你知道 不同於氡
- 它們都有
- 不同的常數
- 我們會看到的
- 實際上 下集會講到
- 你可以通過半生期算出這個
- 但是變化率
- 總是依賴於
- 粒子數的總數 對嘛？
- 我是說 我們通過半生期發現的
- 當粒子數是原來的1/2的時候
- 就失去了1/2
- 這裡 如果開始有100個粒子
- 變成50個粒子 再變成25個
- 如果初始是50個粒子
- 經過一個半生期失去25個粒子
- 如果初始是100個粒子 就失去50個
- 很明顯失去原子的數量
- 取決於初始原子的數量 對嘛？
- 在任何一小段時間中
- 這而是個非常小的時間段
- 所以這裡我建立的方程十分簡單
- 但是對很多人來說
- 聽起來並非如此
- 如果你說這是個微分方程的話
- 實際上我們可以
- 用很直接的方法解出它
- 這實際上是個隔離變量的問題
- 所以 我們該怎麽做？
- 我們兩邊同時除以
- 我們想把所有的N放到這邊
- 然後含有t的項放到另一邊
- 所以如果是1除以
- dN除以dt等於負的λ
- 我只是把兩邊都除以
- 然後方程兩邊都乘以dt
- 就得到dN/N=-λdt
- 現在這個方程的兩側
- 同時積分
- 會得到什麽？
- 反導數的結果是什麽？
- 我在用不定積分
- 或者是反導數
- 1/N的積分是什麽？
- 它等於N的自然對數ln
- 加上某個常數――
- 我用藍色表示 加上某個常數
- 然後它等於
- 這個常數的積分是什麽？
- 它就是這個常數
- 乘以微分
- 也就是乘以
- 求導的對象
- 所以就是 -λ×t 再加上某常數
- 這兩個是不同的常數
- 但是它們是任意的
- 所以如果我們想
- 我們也可以讓它們相減
- 把它們放到同一側
- 然後就得到另一個常數
- 所以這就得到了我們的
- 微分方程的解
- 也就是ln N 等於 -λt
- 加上另一個常數
- 就說是C3吧 反正不重要
- 現在 如果我們想要把它變成
- N關於t的函數
- 我們把兩邊
- 或者說等式兩邊都作e的指數
- 你可以把它看做是
- 自然對數的逆運算
- 那麽e^(lnN)
- lnN就等於
- e的多少次方等於N？
- 所以e的lnN次方 就得到
- 所以這個方程兩邊都作e的指數
- 方程兩邊都作e的冪
- e的lnN就等於
- 就等於e^(-λt+C3)
- 現在這可以化簡成
- N等於e的-λt次方
- 乘以e的C3次方
- 這又是個任意常數
- 所以我們可以把它改成
- 嗯…
- 就改成C4吧
- 所以微分方程的解是
- N對t的函數 就等於常數C4…
- 等於C4×e^(-λt)
- 現在假設 甚至可以再化簡
- 假設t取0
- 那麽N(0)
- 我們有N0這麽多樣品
- 這就是初始量
- 看看我們能不能把它代入
- 方程來解出C4
- 所以我們說N0等於
- 這裡代入0
- 看看 就等於N0
- 它等於C4乘以e的
- -λ… 乘以0
- 負的任何數的乘以0等於0
- 所以這就是e^0
- 那麽就等於1
- 所以C4等於N0
- 也就是樣本初始的量
- 那麽我們就得到了一個表達式
- 得到粒子的數目
- 或者t時刻的粒子數
- 等於初始的量
- 也就是時間爲0的量
- 乘以e^(-λt)
- 我們需要注意的是
- 在我們解不同係數的時候
- 一直都在用時間常量
- 所以這看上去很抽象
- 這和半生期有什麽關係？
- 我們試試算出
- 碳的方程
- 這對所有放射性放射衰變
- 都適用
- 如果這裡有一個加號
- 它也會是指數形式的
- 我們知道 碳
- C14 它的半生期是5,700年
- 所以可以這樣想
- 如果開始時時間等於0…
- 所以時間等於0 t等於…
- 我寫下來
- 如果N0等於…
- 如果想我們可以設成100
- 何不？
- 如果N0 初始值是100
- 那麽在N的5,700年
- 所以我們設t的單位是年
- 就需要統一下單位
- 我們還剩多少？
- 還剩下50個
- 我們也可以在這兩個地方寫上X
- 然後再解出來
- 所以 我們把它代入方程
- 然後嘗試解出λ
- 所以我們知道N0等於100
- 所以我們馬上就知道
- 我們可以把這個方程寫成
- N(t)等於100e
- 的-λt次方
- 至少是在這個例子中是這樣的
- 我們也知道N(5,700)
- 所以就是說 N(5,700)――
- 就等於 我們說過
- 這經過了一個半生期
- 所以剩下的1/2的物質
- 也就等於50
- 也就是5,700λ次方
- 也就等於100乘以e的
- -λ×5,700次方
- 現在我們來解λ
- 然後我們就會得到
- 一個在任一時刻
- 剩下多少碳的一般方程
- 所以等式兩邊都除以100
- 得到什麽？
- 得到0.5 也就是1/2
- 等於e的――
- 就是-5,700λ次方
- 然後我們
- 兩邊同時取自然對數
- 然後就得到 往下拉一點
- ln(1/2)等於
- 它的自然對數就是-5,700λ
- 爲了解出λ
- 你得到λ等於
- 這ln(1/2)
- 除以-5,700
- 我來算算看
- 等於什麽
- 所以ln0.5是它
- 除以-5,700
- 除-5,700
- 等於1.2×10^(-4)
- 等於1.2×10^(-4)
- 好啦 算出了λ的值
- 所以關於在t時刻
- 有多少碳14的一般方程
- 其中t的單位是年
- N(t)就等於
- 初始碳的數量
- 乘以e^(-λt)
- -λ等於-1.2×10^(-4)
- 乘以t年
- 所以如果在1/2年之後
- 你只需代入數據
- 你還需要告訴我初始數量是多少
- 然後我就可以告訴你
- 在1/2年之後還剩下多少
- 或者是在10億年之後
- 或者是很多很多年之後
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