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Proof: S (or Entropy) is a valid state variable : Prroof that S (or entropy) is a valid state variable.
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- 爲了得出一個狀態函數
- 我講很多定義和推導
- 像U 就是係統在P-V圖中
- 任一點的熱力學能
- 一個狀態對應一個值
- 比方說 在這個點 U等於5
- 經曆整個卡諾循環後
- 回到A U仍然等於5
- 它不應該改變
- 它不取決於到達這點的途徑
- 所以如果我們在P-V圖上不走尋常路
- 回到這 U應該還是一樣的
- 這就是一個狀態函數的特征
- 它只取決於它在P-V圖中的位置
- 只取決於最終的狀態 而非途徑
- 所以說 熱量
- 不是一個能用的狀態函數
- 例如 如果我想要定義
- 一個與熱相關的狀態函數
- 比如“熱容量”\N【譯者注：不要跟熱容混淆，此處這是作者自定義】
- 我定義“熱容量”等於
- 係統熱量的增量
- 嗯 回到我們的卡諾循環
- 假設這的“熱容量”是10
- 從A到B 係統得到一些熱量
- 然後相安無事
- 因爲B到C是絕熱的
- 接著從C到D 釋放了一些熱量
- 不過釋放的比吸收的少
- 而這呢 熱什麽的沒有變化
- 所以係統確實吸收了一些熱
- 整個循環中
- 係統吸收的淨熱量
- 應該等於Q1-Q2
- 而且我們知道Q1大於Q2
- 那麽給係統加上的淨熱
- 等於我們對係統做的功\N【譯者注：（口誤更正）應爲係統對外做功，下同】
- 因爲熱力學能沒有變
- 所以如果這是0
- 我們給係統輸入的熱
- 就等於係統做的功
- 走了一圈回來
- 熱力學能變化絕對是零
- 係統做的功等於這陰影的面積
- 我在兩集前曾經曰過
- 圍起來的這部分面積
- 等於係統做的功
- 也是係統獲得的
- 淨熱量
- 所以如果我們給係統輸入這些熱量
- 如果初始“熱容量”爲10
- 就是我剛剛編出來的那個
- 神秘的熱容量
- 循環一次 “熱容量”會是10+W
- 再一次 就等於10+2W
- 然後是10加3W
- 所以熱容量不是嚴格的狀態函數
- 因爲它的大小完全取決於
- 途徑
- 如果我繼續循環 它繼續增加
- 盡管最後都回到同一點
- 所以它不是一個嚴格的狀態函數
- 其中我定義了“熱容量”的變化
- 等於係統吸收的熱
- 它不是一個有效的狀態函數
- 忽視它
- 現在我們有了Q1
- 係統吸收的熱比釋放的多
- 所以淨熱量是正的
- 有意思的地方又出來了
- 係統處於較高溫時 吸收了熱量
- 然後在較低溫時 釋放熱量
- 那麽也許我們可以定義另一個狀態函數
- 它經過一個循環後
- 仍然可以回到一樣的大小
- 我們來實驗一下
- 雖然我知道這個實驗的結果
- 如果不知道 我就不會講
- 我定義一個狀態函數 S
- 然後呢 S發生了變化
- 假設ΔS
- 我正在編一個定義啦
- 等於係統獲得的熱除以
- 係統溫度的增加
- 現在 我還不知道它的實際意義
- 在以後的影片裏 也許我們會發現
- 這個S怎麽顛覆我們的三觀
- 先來看它是不是一個有效的狀態函數
- 曆經一個卡諾循環後
- ΔS應該是0 對吧？
- 作爲一個合適的狀態函數
- 我們要給它賦一個值
- 假設是100
- 隨便啦
- 一旦回到循環起點
- 它應該還是100 或者說ΔS是0
- 那麽什麽是ΔS？
- ΔS 如果係統走了一圈
- 讓我用另一種顏色把它寫下來
- ΔS嘛
- 寫個下標c來表示卡諾循環
- 在卡諾循環裏 ΔS等於…
- 嗯 從A到B
- 溫度不變 然後還得到了Q1哦
- 這是Q1 這是T1
- 好啦
- 然後從B到C 絕熱過程
- 不吸收也不釋放熱量
- 則這個值 Q/T 就是0
- 這項加上0
- 再然後從C到D
- 溫度變了 等溫線也變了
- 係統溫度是T2
- 係統釋放了熱量 不然不會有這個標志
- 假設這是Q2吧
- 我一會兒再來解決這個
- 加上Q2
- 我們知道這值是負數
- 最後 從D到A
- 又是個絕熱過程了
- 沒有熱交換哦
- 加0 沒錯吧
- 分子是0 你懂得 溫度變了
- 但整項等於0
- 所以整個這個應該是0
- 這樣S才是一個有效的狀態函數
- 接下來要搞清楚這個值有什麽意義
- 所以Q1…
- 那麽神秘新狀態函數的變化 ΔS
- 曆經整個卡諾循環後
- 等於(Q1/T1)+(Q2/T2)
- 地球人都知道Q2是負的
- 那麽Q1呢
- 咱可以求出Q1嗎？
- 當我們在等溫線上時
- 溫度不變
- 熱力學能不變
- 那麽熱力學能不變
- 如果ΔU是0
- 那麽係統獲得的熱
- 等於係統做的功
- 也就是曲線下的面積
- 不僅僅是圍起來的面積
- 而是曲線下的整個區域
- 那整個曲線下的面積是多少？
- 我做點小講解
- Q1等於從A到B係統做的功
- 功 要記住
- 可以寫成壓力乘以體積的變化
- 這裡要用到一點點微積分 別怕
- 我用dV來表示一個小的體積變化
- 然後我們對所有這些小體積元
- 積分求和 對不？
- dV是體積的極微小的變化
- 在這裡乘以壓力
- 變成了細長的長方形
- 然後把所有的長方形加起來
- 從起始的VA
- 到最後的VB
- 那 Q2等於什麽呢？
- Q2本質上和Q1是一回事
- 也是係統做的功
- 在這裡應該是一個負數
- 因爲從這到這
- 環境對係統做功了
- 對吧
- Q2就是這時候出現的
- 熱就從係統中被釋放了
- 所以我們要從…
- 哪兒是起點？
- 從VC 到VD
- 現在 我們看看這些積分式
- 原來可是講過的哦
- 我們利用所有這些過程
- 從A到B 從C到D
- 它們都是在等溫線上進行的 對吧？
- 所以唯一在變的
- 就是體積和壓力了
- 溫度沒有發生變化
- 那麽我們回到理想氣體物態方程
- 即PV=nRT
- 做一個小變換 等式兩邊同時除以V
- 得到P=nRT/V
- 然後再代回式中
- P既爲V的函數
- 我們就推導出了曲線的方程
- 就可以處理曲線下的面積了
- Q1等於從VA到VB的一個定積分
- 即（nRT/V)dV
- 而Q2就等於 從VC到VD的定積分
- 從VC到VD對（nRT/V)dV積分
- 我要同時積兩個分
- 這樣你就能發現
- 兩個式子是差不多的
- 搞定
- 那麽應該怎麽辦？
- 嗯 我們知道這兩個過程
- 我們都是在一條等溫線上移動的
- 溫度都是個常數
- 而且我們知道溫度是多少
- VA到VB時 溫度爲T1
- 因爲熱源的關係
- VC到VD 溫度爲T2
- 這也是因爲有個冷源 對吧？
- T2 從C到D
- T1呢 從A到B
- 這些是咱們的溫度
- 它們是恒定的
- 好啦
- 所以… 而n 是恒定的
- R 是一個常數
- n是分子的物質的量
- 然後溫度也是恒定的
- 所以可以從被積分函數中提出來
- 所以我們可以寫成 Q1等於
- nRT1乘以(1/V)dV從VA積到VB
- 而Q2等於nRT2
- 乘以(1/V)dV從VC到VD的積分
- 好了
- 現在積分就可以直截了當的算了
- 1/V的不定積分就是V的自然對數
- 所以Q1=nRT1
- 所以Q1=nRT1
- 然後看Q2
- 來讓哥就此了結掉整個方程
- 所以這等於什麽？
- 這等於lnVB
- 減lnVA
- 和ln（VB/VA）是一回事
- 再乘以 nRT1
- 所有的這些等於Q1
- 同理 Q2等於多少？
- Q2等於nRT2
- 唯一不同的是
- 原來是VB 現在是VD
- 啊 錯了
- 現在是ln（VD）
- 原來的VA變成了VC 所以除以VC
- 好了
- 我們一開始的問題是什麽？
- 我們一開始的問題是什麽？
- 我們知道 這是一個合理的狀態函數
- 那麽ΔS…
- 無論中間S的值是多少
- ΔS等於0
- 意味著S不變
- 也就意味著它們加起來等於0
- 加在一起
- 所以Q1/T1等於那個除以T1
- T1抵消了
- Q2/T2等於那個除以T2
- 這也消除了
- 所以我們的神秘狀態函數的變化
- 經過一個卡諾循環
- 等於(Q1/T1)+(Q2/T2)
- 也等於nR
- 這是這一塊
- 然後加上Q2/T2
- 等於nR ln（VD/VC）
- 這是VC
- 這是個VA
- 好了
- 看看我們能得出啥
- 這等於… 快搞定了
- 臨門一腳
- n乘R
- 我們提取公因子nR
- 而 lnA+lnB
- 等於lnAB
- 所以這個呢等於
- nR乘以ln(VB/VA)(VD/VC)
- 好了
- 那麽這就是ΔS
- 我們要證明的狀態函數
- 現在它等於什麽？
- 如果兩邊都除以
- 容我三思怎麽告訴你們
- 分子分母同時除以VC
- 讓我把這個分數
- 同時除以分子分母
- 也就是 除以VC/VD
- 或者乘以它的分母比分子
- 就是VC/VD
- 所以我可以整理成
- ln（VB/VA）/(VC/VD) 對吧?
- 乘以自身
- 就等於除以它的倒數嘛
- 只是個分數變換
- 好了
- 除以倒數
- 代替乘以自身
- 現在你們明白我之前的努力了吧
- 這個等於什麽？
- 在前面的影片裏
- 我解釋了VB/VA=VC/VD
- 我很辛苦才最終證出來的
- 既然證明了 我們就可以用它來
- 說明這個值等於這個值
- 你用一個數除以自身
- 彼此相等 就等於1
- 如果這是1 那麽ln1呢？
- 所以狀態函數S的變化 ΔS
- 等於 nR乘以ln1
- ln1 是多少
- e的幾次冪是1
- e的0次冪是1
- 就是n×R×0
- 總之 整個的值是0就對了
- 所以它等於0
- 搞定
- 曆經艱險 定義了一個關於熱的
- 狀態函數
- 如果我們定義ΔS等於
- 係統獲得的熱除以溫度
- 溫度和熱一一對應
- 這就是一個合理的狀態函數
- 雖然我們對它在微觀層面上的
- 物理意義還沒什麽直觀體會
- 不過至少我們曾經深入的
- 探索了它的性質
- 如果S在這是10 然後一圈回來
- 變化量是0 它還是10
- 如果S是… 隨便吧 15
- 然後經過瘋狂旅程又回到起點
- S的變化量仍然是0
- 哦 是15
- 我們沒… S的變化量是0
- S還是15啦
- 因此 S 是一個合格的狀態函數
- 雖然我們還不了解它的意義
- 以後的影片再說啦