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Proof: U=(3/2)PV or U=(3/2)nRT : Conceptual proof that the internal energy of an ideal gas system is 3/2 PV.
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- 我提過好幾次
- 這個大寫的U
- 就是係統的熱力學能
- 而且係統的什麽能量都包含在裏頭
- 它包括分子的動能
- 如果分子在震動
- 它就包括勢能
- 它還包括化學鍵能
- 它也包括每個想要亂動的
- 電子的勢能
- 不過 對我們而言
- 特別是如果我們在學入門級的
- 化學、物理 或者熱力學課程時
- 我們就假定
- 討論的係統是
- 理想氣體係統
- 甚至更進一步
- 氣體是單分子理想氣體
- 所以係統中的所有東西
- 都是單獨的原子
- 因此這時
- 係統中唯一的能量
- 就是每個粒子的
- 動能
- 所以我這集要做的是…
- 可能會有點難算
- 但是我覺得堅持到最後
- 就會發現很值得
- 我這集要說明
- 定壓 定容 或定溫係統中
- 熱力學能的多少
- 所以我要把壓力 體積 或者溫度
- 和熱力學能聯係起來
- 注意啦 目前的課程中
- 我只講過熱力學能的增量
- 我們可以把它和
- 係統吸收或放出的熱量聯係起來
- 還有環境對係統做的功
- 或者係統對環境做的功 但是現在
- 假設在有功或熱量的變化之前
- 我們怎麽才能知道一個係統中
- 熱力學能的大小？
- 爲了算出它
- 我們來做一個小的思維實驗
- 我會在這裡化簡一下
- 不過我覺得你可以接受
- 還可能挺喜歡
- 比方說
- 我畫一個
- 一個正方體
- 有種感覺告訴我
- 我好像已經在物理課中做過
- 這個近似證明了
- 雖然 我覺得我
- 沒有確切把它和熱力學能聯係起來
- 不過我會搞定的
- 假設係統就是這個正方體
- 然後正方體的每個邊長
- 都是x
- 所以它長x 寬x 高x
- 所以它的體積就是x的3次方
- 假設係統中有n個粒子
- 大寫的N
- 我也可以寫成小寫的n mol
- 但是我們簡單點來
- 有N個粒子
- 它們自由運動
- 接下來
- 我馬上要做一步簡化
- 但是我認爲這樣做很合理
- 所以在正常係統中 每個粒子
- 我之前已經說過了
- 它們朝著各個方向碰撞
- 任意地朝著四面八方碰撞
- 然後…
- 當它們撞擊容器壁的時候
- 就産生了壓力
- 它們也經常相互碰撞
- 等等 等等
- 四面八方
- 現在 爲了簡化數學計算
- 這樣就可以
- 很快算出來
- 我要做一個假設
- 我假設
- 1/3的粒子都會…
- 好吧 1/3的粒子
- 都沿著軸線運動
- 所以1/3的粒子
- 都沿著這個方向移動
- 我覺得可以說是 從左到右
- 而1/3的粒子上下運動
- 然後1/3的粒子
- 前後運動
- 我們知道這並不是事實
- 但是它會使計算非常簡便
- 如果你真的想要做向四面八方的
- 所有粒子的熱力學統計
- 其實你最後也會
- 會得到同樣的結果
- 這麽說
- 我覺得這是個非常大膽的簡化
- 我們遇到
- 這樣的係統的機率
- 無限小
- 我們一會兒會講到熵
- 以及這機率非常小的原因
- 但是我們的係統可以被這樣簡化
- 這個係統可以産生壓力
- 它使計算簡化了不少
- 利用前面的條件 開始分析係統吧
- 從側面觀察
- 從這邊觀察
- 我們先來看一個粒子
- 或許我應該用綠色的
- 比如有一個粒子
- 它質量是m 速度爲v
- 這是係統中N個粒子之一
- 我想要知道的是這個粒子
- 對這個容器壁施加的壓力是多少？
- 我們知道壁的面積 對嘛？
- 壁的面積是x乘以x
- 所以是x2
- 這個粒子所施加的力是多少？
- 這樣想
- 它向前運動
- 或者說向右運動
- 當它的動量改變的時候
- 就施加了力
- 我這裡小複習一下動力學
- 我們知道力等於
- 質量乘加速度
- 我們知道加速度等於…
- 也就是等於質量乘以
- 速度的變化比上時間的變化
- 當然
- 我知道它被整理成
- 它等於――
- 質量是常量
- 我們要改變的量不影響質量
- 所以是Δ
- 我們可以把它放到變化量裏面去
- 所以是Δmv除以ΔT
- 那麽就是動量的變化 對嘛？
- 所以它等於
- 動量的變化除以時間的變化
- 這是力的另一種表達
- 所以這個粒子的動量變化
- 是多少？
- 它會撞擊容器壁
- 現在 在這個方向
- 它有一些動量
- 它的動量等於mv
- 它會撞擊這個容器壁
- 然後直接彈回來
- 所以它的動量是多少？
- 它的質量和速度
- 大小不變
- 我們假設它是完全彈性衝擊
- 沒有熱量或其他損失
- 但是速度的方向改變了
- 新的動量就是-mv
- 因爲速度的方向改變了
- 現在 如果我開始動量是mv
- 然後彈回來的動量是-mv
- 動量的變化是多少？
- 動量的變化
- 在彈回來之後 就等於…
- 等於它們的差
- 也就是2mv
- 嗯 這還得不到力
- 我需要知道
- 每單位時間動量的變化
- 碰撞多久發生一次？
- 頻率是多少？
- 每次運動到這裡都會碰撞
- 每次都會撞擊容器壁
- 然後粒子會回到這裡來
- 撞擊那個容器壁
- 然後回來再撞擊
- 所以這就是它發生的頻率
- 那麽兩次碰撞之間
- 我們需要等多久？
- 粒子一次要運動x距離
- 它會碰撞
- 然後運動x距離到左邊
- 距離是x
- 我換個不同的顏色
- 這裡的距離是x
- 它需要運動x距離再回來
- 然後再運動x距離 回來
- 所以 它需要移動2x
- 移動2x的距離需要多久？
- 時間 ΔT
- 就等於 我們知道
- 距離等於速率乘以時間
- 如果距離除以速率
- 就得到了所需時間
- 這是基本運動方程
- 那ΔT
- 移動的距離是一個來回
- 所以是2x 除以
- 速率是多少？
- 速率就是速度的大小
- 除以v
- 出來咯
- 這就是我們的ΔT
- 因此單位時間的動量變化
- 等於2倍入射動量
- 因爲以同樣的速率彈回來了
- 不過是負的動量
- 那麽這就是動量的變化
- 然後 時間的變化是這個值
- 它就是粒子在兩邊之間
- 來回一次的距離
- 除以速度
- 所以就是 2x/v
- 就等於2mv乘以它的倒數…
- 分數性質
- 就是v/2x
- 等於什麽？
- 2被約掉了
- 所以就等於mv2/x
- 有趣吧
- 我們已經來到有意思的部分了
- 但是如果你還覺得還不夠
- 那麽等我一下
- 這是一個粒子所施加的力
- 這是…
- 一個粒子施加在一面容器壁上的力
- 面積是多少？
- 我們在意的是壓力
- 我們寫在上面了
- 壓力等於單位面積上的力
- 這是粒子所施加的力
- 也就是mv2/x
- 除以容器壁的面積
- 壁面積是多少？
- 壁的面積 每個邊長都是x
- 所以如果是這個壁面 是x乘以x
- 是x2
- 所以除以容器壁的面積x2
- 它等於什麽？
- 等於mv2/x3
- 你可以說
- 這是乘以1/x2
- 這一堆變成x3
- 這就是分數的性質
- 有意思的部分來了
- 這一個粒子産生的壓力
- 設是這一粒子産生的
- 等於mv2/x3
- x3是什麽？
- 那是容器的容積
- 除以體積
- 我把體積表示成大V 好嘛？
- 看看我們能不能
- 導出有趣的東西來
- 所以它的意義就是
- 這個粒子産生的壓力…
- 嗯 我換個方式
- 這是一個粒子對一面容器壁 對嘛？
- 這是這個容器壁的一個粒子
- 那麽 所有的粒子…
- 在立方體中有N個粒子
- 它們之中有多少
- 會撞擊這個容器壁？
- 有多少會
- 和這個粒子一樣來回撞擊？
- 我說過了
- 1/3的粒子會在這個方向上運動
- 1/3的粒子上下運動
- 1/3的粒子前後移動
- 如果總共有N個粒子
- N/3個粒子的運動方式
- 和這個粒子的相同
- 這是一個粒子的壓力
- 如果我想知道
- 整個容器壁的壓力
- 那麽壁面上的總壓力
- 是由N/3個粒子引起的
- 其余的粒子沒有撞擊這裡
- 所以我們不用考慮他們
- 所以如果我們要算總壓力
- 我就寫 PW壁的壓力
- 壁的總壓力PW就等於
- 一個粒子産生的壓力
- mv2 除以V
- 乘以 撞擊壁面的
- 粒子的總數
- 粒子的總數是N/3
- 因爲只有1/3的粒子是這個方向的
- 所以壁面上的總壓力
- 就等於mv2
- 除以容器的體積
- 乘以粒子的總數除以3
- 看看我們能不能整理一下
- 所以如果我們把兩邊都乘以…
- 怎麽辦好呢
- 如果兩邊同時乘以3V
- 得到PV乘以3 等於
- mv2乘以N
- 其中N是粒子的總數
- 再兩邊同時除以N
- 所以就得到3PV除以…
- 還是不要了 N留在這裡吧
- 方程兩邊同時除以2
- 就得到… 得到什麽？
- 得到3/2PV等於…
- 這很有趣
- 它等於N 也就是總粒子數
- 乘以mv2/2
- 記得 我剛剛通過
- 兩邊除以2得到了這個
- 我這樣做是有特殊原因的
- mv2/2是什麽？
- mv2/2是
- 這個例子開始時
- 那個粒子的動能
- 這是動能的表達
- 動能等於mv2/2
- 所以這是一個粒子的動能
- 然後我們把它乘以
- 總的粒子數
- 乘以N
- 所以N乘以一個粒子的動能
- 就是所有粒子的
- 動能
- 當然 我們也可以再作一個假設
- 我可以說 假設
- 所有的粒子
- 運動速度相同 並且質量相等
- 而實際中
- 粒子速度應該是不同的
- 但這是個爲了簡化的假設
- 那麽 假設它們的速度和質量相同
- 所以 如果我乘以N…
- 這部分
- 是係統的動能
- 快算好咯
- 實際上 已經算好啦
- 我們推出了
- 係統的動能
- 等於3/2乘以壓力
- 再乘以係統的體積
- 那麽係統的動能是什麽？
- 它就是熱力學能
- 因爲我們說過 係統中所有的能量
- 因爲它是簡單的理想單分子氣體
- 係統中所有的能量
- 都以動能的形式存在
- 所以我們可以說 係統的
- 係統的熱力學能等於
- 也就是係統的總動能
- 它等於 3/2乘以總壓力
- 乘以總體積
- 你可能會說 嘿 Sal
- 你剛剛只算出了這個方向的壓力
- 那麽 那個方向的壓力
- 和這個方向的 這個方向的
- 或者是整個立方體的壓力怎麽算
- 好吧 立方體內各處的壓力
- 都相等
- 所以我們只需要
- 算出一個方向的壓力
- 它就是
- 係統的壓力
- 所以接下來要怎麽做？
- 我們知道PV等於nRT
- 這是理想氣體方程
- PV等於nRT
- 其中這個是氣體的物質的量
- 這是理想氣體常數
- 這是溫度 單位是克耳文
- 所以如果代入這個方程
- 我們會說 熱力學能
- 也可以寫成
- 3/2 乘以物質的量
- 乘以理想氣體常數
- 乘以溫度
- 好啦 我講了這麽多
- 還算了些數
- 但是這結果 第一 很有意思
- 因爲現在你就得到了它們的直接關係
- 如果已知壓力和體積
- 你就知道了熱力學能的大小
- 或者說係統的總動能
- 或者 如果你知道了溫度
- 和分子數量
- 也可以求出
- 係統的熱力學能大小
- 有幾個關鍵 我希望
- 你們能留下印象
- 如果在理想情況下
- 溫度不變
- 也就是ΔT等於0
- 這個常數也不變
- 粒子數也不會變
- 然後熱力學能也就不變
- 所以如果
- 熱力學能有變化…
- 以後的證明會用到這個
- 我們就可以說…
- 它等於 3/2nR再乘以…
- 呐 這是唯一能變的部分
- 不是粒子數
- 也不是理想氣體常數…
- 乘以T的變化
- 或者 它也可以寫成
- 3/2乘以ΔPV
- 我們不知道這兩個哪個是定值
- 所以必須說是PV的“積”的變化
- 好啦 這集算數比較多
- 我很抱歉
- 但是我希望
- 它給你了一點這樣的概念
- 這其實就是所有動能的總和
- 我們把它和
- 一些宏觀狀態函數聯係起來了
- 比如壓力 體積 和時間
- 接下來 既然我已經做了一集證明
- 我們以後可以直接用它證明別的
- 若果真如此 至少你不會抱怨太多
- 無論如何 下集見咯
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