載入中...
相關課程
登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
PV-diagrams and Expansion Work : Why work from expansion is the area under the curve of a PV-diagram
相關課程
0 / 750
- 上集
- 我們知道係統可以通過膨脹做功
- 在我們畫的那個例子中
- 蓋子可以移動
- 相當於一個活塞 然後
- 就像是準靜態過程那集
- 上面有一些石子
- 移走一塊石子
- 那麽係統的壓力…
- 如果我們假設
- 石子非常小
- 以至於壓力是常數
- 它就會把活塞推上去
- 我們又算出那個力的大小
- 因爲壓力是單位面積上的力
- 只要將壓力乘以活塞的面積
- 就能算出施加的力的大小
- 施加的力 它乘以
- 活塞擧升的距離
- 就得到膨脹
- 所做的功的大小
- 或者說膨脹功的大小
- 我們說過
- 我們可以重新整理一下
- 如果是 壓力乘以面積
- 再乘以距離
- 我們就可以把它寫作
- 壓力 乘以面積 乘以距離
- 而面積乘以距離
- 就是體積的變化
- 所以就可以得出一個簡練的方程
- 係統做的功可以寫成
- 壓力乘以體積的增量
- 這時
- 我寫出熱力學能方程
- 有關係統所做的功
- 所以這裡是減號 對嘛？
- 因爲做功的時候
- 是把能量給了環境
- 所以這時 這裡用減號
- 因此如果不寫功 我們可以寫
- 減去壓力乘以體積的變化
- 要記住 這是一個準靜態過程
- 每次的變化量很小
- 我們假設
- 體積的變化非常小
- 實驗過程中
- 壓力基本恒定
- 當然實際上並非如此 對嘛？
- 如果這樣
- 如果體積變化很大
- 或者是突然變化
- 如果這些石子非常大
- 那麽膨脹的時候壓力會變大
- 這就很難說
- 壓力乘體積的變化是什麽意思了
- 如果我們假設
- 這些的變化量
- 都非常非常小
- 我們就可以說 呐
- 比如壓力在這個小增量上
- 是恒定的
- 然後我們就可以用它乘以
- 體積的變化
- 接下來 我們來看這個和
- 之前P-V圖
- 有什麽聯係
- 目前爲止 我們見過所有P-V圖
- 或者它的應用
- 都多少能幫助理解
- 不同的準靜態過程
- 或者判斷何時能夠確定宏觀狀態
- 現在我用它來做些更有用的事情
- 這會給告訴你一個原因
- 或者初步給你一個解釋
- 爲什麽學熱力學的人對它愛不釋手
- 在我做實驗之前
- 當活塞在這裡的時候
- 我把全部石子都留在上面
- 係統處於平衡狀態
- 我可以描述它所有的宏觀狀態
- 它的壓力 體積 溫度
- 我還可以講出它的熱力學能
- 我畫在這裡吧
- 比如說當時是這個狀態
- 這是狀態1
- 狀態1就在這裡
- 然後 假設我開始移走石子
- 記住 如果我一下子移除全部石子
- 整個係統就會崩潰
- 我們就不會得到準靜態過程
- 或者可逆過程
- 這兩者有時候不能互換
- 但是爲達到目的
- 我們不能讓係統一直處於平衡
- 要等一下才能達到平衡狀態
- 在某一時刻 我們的壓力和體積
- 是這麽多
- 如果這例子不是
- 準靜態過程
- 接下來…
- 上集我講過了
- 我們把它當做一個…
- 或者說我們盡量接近
- 準靜態過程
- 因爲每次通過這些小石子
- 達到的變化量很小
- 如果這些石子不夠小
- 你可以用更小的石子
- 那麽我們漸漸的移動
- 例如 在上集中
- 我們可能從這裡開始移動
- 移走一個石子 就到這裡
- 再移走一個石子 到這裡
- 再移走一個石子 到這裡
- 它是準靜態過程的
- 好處是
- 你知道從一個狀態到下一個狀態的過程
- 如果你把石子都移走了
- 只剩下最後一個
- 你懂的 這描述了整個過程
- 假設我們處於狀態2
- 只剩下一個石子
- 讓哥畫一下
- 狀態2看起來就是…
- 我迅速畫一個
- 這是俺們的容器
- 這是活塞
- 上面只剩下一個石子
- 當然這裡有氣體
- 我寫下來吧
- 這是狀態2
- 我再畫個狀態1 大概是這樣
- 狀態1 蓋子低一點
- 上面有一堆石子
- 係統的體積更小一點
- 所以氣體粒子更加激烈地
- 碰撞蓋子、容器壁和底
- 我畫的氣體粒子一樣多
- 所以壓力更大
- 因此 壓力大 體積小
- 在狀態2…
- 這是高電壓
- 縱軸是壓力
- 橫軸是體積
- 所以這點是壓力高 體積小
- 只剩下一個石子時
- 係統達到了這個狀態
- 整個變化非常緩慢
- 所以我們一直處於平衡狀態
- 由此得到變化的途徑
- 這是移走每一個石子後的情況
- 所有壓力和體積等宏觀狀態
- 都是確定的
- 但是在狀態2
- 現在是 壓力低 體積大
- 體積大 你懂的
- 因爲我們一直慢慢地向上推活塞
- 爲了保持平衡狀態
- 這樣宏觀狀態才能一直穩定
- 而壓力低是因爲
- 我們的粒子數目不變
- 但是它們
- 撞擊容器壁的次數降低
- 因爲它們
- 運動的空間變大了
- 這都非常合理
- 因此這就描述了係統
- 如何過度
- 或者經曆這種變化的過程
- 也就是準靜態過程
- 每一點的狀態都是穩定的
- 現在我們說
- 係統在任何一點所做的功
- 等於壓力乘以體積的變化
- 這如何在P-V圖中表現出來？
- 體積的改變
- 就是X軸上的改變
- 沿著X軸 我好像應該把它叫做體積軸
- 這是體積變化
- 從這個體積開始
- 如果我們拿走了一個石子
- 體積就變成了這個
- 接著 我們把它乘以壓力
- 因爲每次的變化量很小
- 非常接近於平衡狀態
- 我們可以假設
- 在這段時間內
- 壓力幾乎不變
- 因此可以說
- 這就是這段時間的壓力
- 那麽我們做了多少功呢
- 就是這裡的壓力
- 乘以這個體積
- 也就等於這個長方形的面積
- 如果你們看過我的微積分課
- 這個看起來就很眼熟了
- 那麽如果
- 再移走一塊石子 又會如何？
- 呐 現在壓力降低了一點
- 這是我們新的壓力
- 壓力稍微降低了一點點
- 我們用它乘以
- 新的體積增量
- 乘以這個體積的變化
- 就得到功的增量
- 同理 就等於這個長方形的面積
- 如果我們一直這樣下去
- 所做的功就是
- 我們拿走每個石子形成的
- 這些長方形的面積
- 你可能要說…
- 尤其是如果你沒有
- 看過我的微積分課
- 天哪 你知道 這可能非常近似
- 但是這些長方形的面積
- 不精確等於曲線的面積
- 有點不精確啊
- 有些誤差啊
- 我的回應是
- 如果你擔心那些小誤差
- 你就可以
- 讓體積增量變更小
- 如果你想
- 每一步的體積增量更小些
- 你就要移走更小的石子
- 這就回到了我們努力
- 接近理想準靜態過程
- 所以如果這樣做
- 最終 ΔV
- 就會變得越來越小小小
- 這些長方形就
- 越來越細
- 就需要越來越多的步驟
- 但最後你還是會達到這一點
- 如果ΔV的變化非常小
- 在微積分中 無窮小的變化
- 寫作dV
- 如果你把壓力乘dV的積都加起來
- 就得到了曲線下的面積
- 因此分析P-V圖的
- 思路是
- 如果有人假設
- 從這點出發
- 從這個壓力和體積
- 變成這個壓力和體積
- 然後他們問 一共做了多少功？
- 你會說 哦 我需要
- 算出曲線下的面積
- 如果你想了解這背後的數學原理
- 你可以把壓力
- 轉化成體積的函數
- 如果你沒有看過微積分課
- 你可以忽略
- 我這裡的小注解
- 這個曲線
- 假設你這樣寫
- 家和你可以把壓力
- 寫成體積的函數
- 在代數課程中
- 你學過曲線就是
- 你知道 y是x的函數
- 回到這裡 y是壓力 x是體積
- 所以這裡壓力是體積的函數
- 那麽曲線下的面積
- 就是壓力對體積的函數的積分
- 也就是任意一點的高度
- 乘以這個非常小的體積增量
- 乘以這個非常小的體積變化
- 然後從第一個ΔV開始將函數相加
- 從起始體積到最終體積
- 我們以後會算一遍
- 尤其是在我們開始接觸熵的時候
- 不過這是個很簡介的結論
- 即使如果你不會微積分
- 或者你覺得這很難理解
- 或者你從沒有見過積分
- 你可以忽略它
- 但是你可以直觀地觀察一下
- 然後發現我求的就是
- 曲線下的面積
- 現在 我再問你一個問題
- 假設 環境對係統做了點功
- 我們把石子加回去
- 那麽假設…
- 其實 假設我們向這個方向進行
- 假設我們從狀態2開始
- 向這個方向變化
- 方向很重要
- 那麽假設我們朝這個方向變化
- 我應該加幾個箭頭
- 但是這個圖被我畫得太花了
- 我重新畫一個圖好了
- 這才是最佳方案
- 所以這個是壓力 體積
- 我畫兩個好了
- 壓力 體積
- 我畫兩個圖了
- 好啦
- 第一個圖縱軸壓力 橫軸體積
- 壓力 體積
- 我們從狀態1開始
- 最後到狀態2
- 所以係統實際上
- 把活塞向上推了
- 它可能是一條曲線或者是直線
- 我不打算講得太深
- 但是它朝這個方向變化
- 所以我們可以說 所做的功
- 就是每刻壓力乘以體積增量的和
- 因此所做的功
- 等於曲線下的面積
- 現在 如果我們從狀態2開始
- 回到狀態1
- 從2到1
- 這會如何？
- 這時係統在壓縮
- 所以如果我們朝這個方向
- 你會可能會說 噢
- 係統做的功應該
- 還是曲線下的體積
- 你回答的差不多
- 爲什麽呢？
- 現在 我們在壓縮係統
- 我們在把石子加回去
- 我們在向係統輸入能量
- 假設如此
- 要記住 係統所做的功等於
- 壓力乘以體積的“增量”
- 不過現在是
- 壓力乘以體積的“減少”
- 所以反方向進行的時候
- 面積不是係統所做的功
- 而是環境向係統做的功
- 我用個不同的顏色表示
- 綠色是環境向係統做的功
- 現在我給你講
- 另一個有趣的概念
- 其實是個關鍵的概念
- 這裡最好能有個直觀的感受
- 我再畫一個
- 非常簡單的P-V曲線
- 哎呀 用錯筆了
- 假設 我們從某狀態開始
- 狀態1
- 然後我手癢 你懂的
- 這是個準靜態過程
- 然後鬼馬的事情發生了
- 係統到達狀態2
- 它朝著這個方向變化
- 所以體積在增加
- 所以這時
- 係統所做的功是多少？
- 很簡單 就是曲線下的面積
- 然後 假設
- 係統一直處於準靜態過程
- 但是通過不同的途徑實現
- 我用其他方法實現
- 而不是直接把石子放回去
- 新的途徑看起來是這樣的
- 回到狀態1
- 這些箭頭要倒回去
- 那麽 現在環境對係統做功是多少？
- 體積減小
- 那就是第二條曲線下的面積
- 第二條曲線下的面積
- 就是環境對係統做的功
- 所以如果我想知道
- 係統淨做的功是多少
- 在從狀態1到狀態2
- 再回到狀態1這個過程中
- 要記住 這是P-V圖
- 淨功是多少？
- 呐 係統所做的功
- 是棕色曲線下的整個面積
- 然後環境對係統做的功
- 是洋紅色曲線下的面積
- 係統淨做的功的就是
- 整個黃白區域 減去紅色區域
- 因此淨做功的大小
- 就是曲線中間的部分
- 你不用微積分應該也可以理解
- 雖然你計算的時候
- 需要用到微積分
- 但是我只是想給你一個直觀概念
- 封閉合曲線中間的面積其實就是
- 係統淨做功的大小
- 而且最重要的是
- 過程進行的方向
- 係統增加體積
- 然後減少體積
- 就像順時針走一圈
- 這是係統做的功
- 也就是 嗯…
- 對我來說 這很有意思
- 之後我們會用這個概念
- 來提出狀態函數背後的
- 其他概念
- 我再說一點題外話
- 記住 對宏觀變量壓力和體積
- 我們做一點變化
- 然後回到這個狀態
- 它們沒有改變
- 我還想說一個問題
- 爲了達到目的
- 遇到理想氣體的時候
- 熱力學能就是
- 係統的動能
- 如果係統被搞得亂七八糟
- 然後再複原
- 熱力學能沒有變化
- 因此這點的熱力學能
- 天荒地老 此“值”不渝
- 那麽我問
- 係統走了一圈回來
- 熱力學能的變化是多少？
- 是0
- 變化是0
- 那如果我說 從這裡到這裡
- 熱力學能就不同了
- 係統確實變了
- 但是因爲它是個狀態函數
- 它不關心係統是如何過來的
- 如果係統走了一圈然後回到這點
- 它只會說 呐
- 只要我在P-V圖的這點上
- 我的熱力學能就不變
- 那如果我從這點開始
- 到這點結束
- 我的熱力學能就依然如此
- 下集 我們會再
- 仔細講講
- 留你一個P-V圖
- 曲線下面積的直觀體驗
- 本集就到這裡