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相關課程
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- 在這個影片中 我要做的是用微積分證明著名的
- 向心加速度公式 它告訴了我們
- 向心加速度的大小
- 實際上的方向一直向著中心點改變
- 但是向心加速度的大小等於
- 速度平方除以半徑
- 我要弄清楚 這是一個純量公式
- 我們說的是加速度的大小
- 和速度的大小
- 如果這些是向量 我們應該在上面畫上箭頭
- 所以這個實際上 我不想讓人們迷惑因爲這是v
- 這確實與速率平方有關
- 這是大小 這些都是純量
- 所以爲了做這個 我們做一些假設
- 是圍繞行星運動的什麽物體
- 我們設這是行星
- 有一個物體在繞著行星在軌道上運動
- 它是逆時針方向旋轉
- 所以我們規定它的位置向量是時間的函數
- 所以這是它的位置向量 它是時間的函數
- 這樣旋轉 我們假設-
- 爲了能證明-
- 所以這是y軸 這是x軸
- 我們把正x方向和向量的方向
- 之間的夾角定義爲θ
- 你們要假設物體在半徑是r的軌道上
- 所以位置向量的大小
- 即使方向一直在改變
- 位置向量的大小不改變
- 長度總是r
- 所以這是個半徑是r的圓
- 位置向量的大小
- 隨著時間變化
- 等於r 所以我們怎麽表示
- 位置向量的分量和時間的關係？
- 我們可以把位置向量寫出來
- 我要用工程符號表示
- 所以如果有一些看起來很陌生 你們可能要複習一下
- 相關影片 我要做一點三角學計算
- 來把向量分量成各分量
- 如果有一些看起來不熟悉
- 我鼓勵你們複習一下這些影片
- 如果你們取任何時刻的位置向量
- 大小是r 角度是θ 它的x分量 用藍色表示
- 這個向量 向量的大小
- 我可以說 是rcosθ
- 我們知道 這來源於基礎三角學知識
- 當我們學習二維抛射問題的時候
- 我們知道了怎麽把這些向量分解成它的分量
- 這個向量的y分量是rsinθ
- 所以這是rsinθ
- 所以任意時刻的位置向量
- 可以寫成x和y分量之和
- 所以這是x分量的大小
- 等於rcosθ
- 如果你們喜歡 我可以把θ寫成時間的函數
- 但是我只要寫成rcosθ(t)
- 我這樣寫 所以這表示了θ是時間的函數
- 這個物體在移動 就是這個乘以
- 單位向量i 我們這裡用的是工程符號
- 所以這是單位向量i
- 它告訴了我們x分量在正x方向上
- 加上y分量的大小 就是rsinθ
- θ是時間的函數
- 所以爲了弄清楚 θ是時間的函數
- 它在j方向上 所以這是單位向量j
- 所以現在 我們有了關於θ的函數
- 實際上就是關於時間的函數
- 所以我們求它的導數
- 所以位置相對於時間的導數是什麽
- 就是速度向量
- 是時間的函數 它要等於
- 只要求每一項關於時間的導數
- 你們只要用連鎖律
- 所以就有r在外面 因爲它是個常數
- cosθ(t)
- 對於t的導數
- 所以現在我只要用連鎖律
- 這就是-sinθ(t) 因爲連鎖律
- 還要乘以θ(t)關於t的導數
- 所以乘以dθ/dt
- 這只是連鎖律
- 所以這就是在x方向上的變化
- 在y方向上 我們要做同樣的計算
- 在y方向上 同樣求導數
- 把r放到前面 然後求
- sinθ關於θ的導數是cosθ
- θ是時間的函數
- 然後用連鎖律 你們也要把這乘以
- θ對t的導數
- 乘以dθ/dt
- 所有這些乘以單位向量j
- 現在 你們可能發現了一些東西 如果你們對這些感到陌生
- 你們應該重新看一下關於角速度的影片
- 但是dθ/dt 這是角速度
- 這就是爲什麽我說要重新看一下 在這裡
- 角度對時間的變化率
- 這是角速度 所以這是角速度
- 爲了做這個影片
- 我們要做這樣的假設
- 這個公式 我們要假設 這個ω
- 就是角度對時間的變化率
- 我們假設 它是恒定的
- 所以這是我們爲了證明做的假設
- 我們要假設ω是恒定的
- 如果ω是恒定的 那麽我們可以把它看做常數
- 然後提到表達式外面
- 所以我們把-ωr提到表達式外面
- 所以我們可以把v(t)寫成等於
- 我要提出-ωr
- 如果提出了-ωr
- 第一部分剩下了什麽
- 就剩下sinθ(t)
- θ是t的函數 我不用寫出表達式
- 但是很確定θ是t的函數
- 然後乘以i單位向量
- 加上 所以如果我們提出了-ωr
- 這就變成了-cosθ
- θ是t的函數 這個乘以單位向量j
- 所以我們提出了-ωr
- 現在 我們求關於時間的導數
- 所以如果我們取速度關於時間的導數
- 這顯然就是加速度關於時間的函數
- 我們要假設這個的大小是恒定的
- 但是實際上的方向是改變的
- 所以這是關於時間的加速度函數
- 等於-ωr
- 所以這個的導數是多少？
- 所以sinθ的導數
- 我們知道用連鎖律
- sinθ的導數
- 是cosθ θ是t的函數 然後根據連鎖律
- 我們要用這個乘以
- θ關於t的導數
- 我可以寫成dθ/dt 但是同樣的 就是ω
- 所以這是ω 這當然在i方向上
- 從這裡 接下來 我們求
- cosθ(t)關於θ的導數
- 所以這是-sinθ
- 所以可以把負號提出來
- 所以它變成了正sinθ(t)
- 然後用連鎖律
- θ關於t的導數
- 我們要乘以它 這樣 我們要在這裡寫上
- dθ/dt 但是這也等於ω
- 所有這些乘以單位向量j
- 所有現在 我們提出另一個ω
- 得到了一些有趣的東西
- 如果提出另一個ω 就得到-ω^2r
- 我只是提出了另一個-ω
- 乘以 我要把它寫到括號裏
- cosθ(t)乘以單位向量i
- 加上sinθ(t)乘以單位向量j
- 現在 所有的這些是什麽？
- 只要看一下這部分 r乘以這個
- 尤其 如果乘進去r
- 這恰好就是這些
- 乘以單位向量i加上
- sinθ(t)乘以單位向量j
- 所以這些我用橙色圈起來的
- 這是位置向量 是時間的函數
- 所以所有我們做的就是得到了一個有趣的結果
- 我們算出了加速度向量是時間的函數
- 等於負的恒定角速度的平方
- 乘以位置向量
- 爲了弄清楚 角速度是一種僞向量
- 它很像純量
- 尤其當像這樣關心兩維的時候
- 它確實是個僞向量 但是我們這樣想
- 我們假設這是個恒定的數量
- 現在 我們非常非常非常接近這裡
- 現在 我們想做的是
- 這實際上是它的純量大小
- 所以如果兩邊都取大小
- 所以我們說加速度向量等於
- 這個常數乘以位置向量
- 所以我們兩邊取大小
- 然後就得到了加速度向量的大小
- 我把這叫做ac 就等於
- 你們可以說等於這個-ω^2
- 但是當你們取它的大小
- 這實際上就像取絕對值
- 絕對值就是在一維上的大小
- 這就是正的ω^2
- 我們不管方向 符號告訴了我們方向
- 我們實際上只要關心大小
- 所以這就是-ω^2的大小
- 乘以位置向量的大小
- ω^2的大小就等於ω的平方
- 可以去掉符號 位置向量的大小
- 我們在影片開始就見到過了 就是r 半徑
- 所以這個等於
- 圍繞運動的圓的半徑
- 現在 我們也知道了角速度
- 或角速度的大小
- 等於速度的大小
- 或者物體的速率 除以圍繞運動的
- 圓的半徑 所以我們可以把這代進去
- 所以如果把它平方 這就是v/r的平方
- 現在 我們在角速度的影片中見過了 乘以r
- 這就是加速度的大小
- 實際上就是向心加速度
- 向內方向的加速度 所以這就等於
- 我認爲你們能看出來
- 這就等於v^2除以r^2乘以r
- 但是這個r和這個r^2約掉了
- 所以就只剩了v^2除以r 做完了
- 向心加速度的大小等於速率-
- 速度大小的平方
- 除以半徑 做完了