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- 大家好
- 有人要求我做一個關於向量叉乘的影片
- 其實現在的時機挺好因爲我正準備做
- 磁力學的一係列影片
- 所以時間不好不壞吧
- 正好向大家介紹一下向量叉乘的概念
- 那麽 叉乘到底是什麽呢？
- 我們都已經知道向量相加和相減
- 但向量相乘時要怎麽處理呢？
- 實際上向量相乘有兩種：點乘（向量內積）
- 點乘（向量內積）
- 大家需要知道
- 人類定義的每一種運算
- 都是有它的目地的
- 對於向量叉乘也是一樣
- 我之所以給大家啰嗦這個
- 是因爲向量積是一種很神奇的運算
- 至少當初我最開始學的時候是這麽認爲的
- 不管怎樣 想法就說到這
- 接下來我給大家展示一下叉乘到底是怎麽運算的
- 如果要叉乘兩個向量：
- 就假設是向量a×向量b叉乘符號就像
- 大家在剛開始學習代數
- 用的點號和括號一樣
- 其實就是個x
- 所以 向量a和b叉乘的結果等於--
- 額 一開始大家可能覺得奇怪爲什麽會這麽計算
- 不過以後通過形象化解釋應該會
- 明白爲什麽這麽處理
- 所以 向量積等於向量a的模乘以
- 向量b的模再乘以ab之間夾角的正弦
- 這裡夾角指的是較小的那個夾角
- 這裡呢 是比較重要的部分
- 而且這個量不是個純量
- 它不僅有大小
- 還有方向 這個量的方向我們用向量n來表示
- n是單位向量
- 在上邊加一個帽符號表示
- 這是個單位向量 由向量n指定的這個方向
- 有幾個重要的點需要大家注意
- 首先 n與兩個向量都垂直
- 與兩個向量都正交
- 過一會我們會探討
- 直觀看起來
- 這代表著什麽
- 另外呢 這個方向
- 是由右手定則規定的
- 過會也會看到
- 所以大家要學會想象這個的直觀效果
- 另外需要提醒大家很重要的一點
- 只有在三維條件下
- 我們才使用向量積
- 或許你可以在其他維度裏定義向量積的應用
- 或者單純計算向量叉乘
- 但是它從根本意義上說 確實只在三維空間裏才能應用
- 這樣看來它就非常有用
- 因爲我們生存的就是三維的世界
- 好吧
- 下面來實踐一下叉乘吧
- 當你能直觀的看到它
- 尤其是能熟練使用右手定則以後
- 應該會更好懂一些
- 假設這是向量b
- 額其實不用畫這麽直
- 但是也無妨
- 不用畫的太好
- 哦這個畫次了
- 以爲是畫線條的工具呢
- 好了現在開始
- 這是向量a
- 這是b
- 哎應該用一個顏色的
- 換來換去太麻煩了
- 它們的夾角是θ
- 好 假設向量a長度是 額
- 就假設是5吧
- 而向量b的模是10
- 因爲b看起來是a長度的兩倍嘛
- 好吧我只是在臨時湊數字哇
- 那向量積是多少呢？
- 模的部分就很簡單啦
- 如果這個角是30°
- 因爲我們生存的世界多數時候用度來描述角度
- 我自己會覺得使用角度更方便
- 當然 如果你想用弧度也行
- 我們也可以用弧度來思考這個問題
- 30度 對應弧度是π/6
- 所以也可以寫成是π/6弧度
- 不管怎樣 這個角度是30度
- a×b 等於多少呢？
- 將等於向量a的模
- 而向量a的模是5
- a的模乘以b的模（10）
- 再乘以它們夾角的正弦
- 當然 你也可能選擇那個大一點的夾角
- 那個鈍角
- 你可能說這也是它們的夾角
- 但我之前說過要選小的角
- 我說的是向量之間較小的夾角 要是銳角
- 所以後邊要用30度的正弦乘以向量n
- n是單位向量 所以我先忽略它的方向
- 實際上一會我會給大家指出方向
- 首先先算出結果的模吧
- 前邊等於50 30度角的正弦等於多少呢？
- 等於1/2
- 如果不確定你可以用計算器算算
- 所以結果是5乘10乘1/2乘單位向量
- 等於25乘以單位向量
- 算到這 大家可能
- 有的覺得有趣 有的覺得困惑
- 那麽 這個單位向量到底指向什麽方向呢？
- 正如我早提到過的
- 它跟這兩個向量都垂直
- 那麽怎麽會有跟這兩個向量
- 都正交的向量呢？
- 現在看起來我好像是畫不出來
- 但這是因爲 在我一開始畫a和b的時候
- 是在二維裏畫的
- 如果有第三個維度
- 如果我可以垂直穿梭於我的書寫板
- 對你們來說 是垂直穿梭於屏幕
- 我就可以有一個跟兩向量都正交的向量
- 想象一下這個單位向量-我真希望我能畫出來-
- 在這個點垂直穿入或者垂直穿出
- 希望你們能想象出吧
- 接下來我要介紹一下這個向量的方向符號
- 如果畫成這樣在圓圈裏有一個×
- 那這是一個垂直穿入紙面
- 或屏幕的向量
- 如果畫成這樣那麽就是一個垂直射出
- 屏幕的向量
- 有人可能要問這個約定是怎麽來的呢？
- 其實是受箭頭的啓發 記得箭長啥樣不？
- 記得箭長啥樣不？
- 箭 就是我們畫向量的習慣畫法
- 就長這樣：
- 箭的頭是圓（錐）的所以最後會聚於一點
- 如果它垂直屏幕向外射出 你迎著箭頭觀察
- 它就會是一個點 而箭的尾巴長什麽樣子呢？
- 它後邊是有羽鳍的
- 這個一個羽毛
- 這是另一個
- 所以如果你拿著這個箭讓它垂直射入紙面
- 當你觀察箭尾或者箭的後方的時候
- 它看起來就是這樣的
- 所以這是一個要垂直射入紙內的向量
- 這是垂直射出的向量
- 現在我們知道n是與a和b都正交的
- 所以要得到一個與兩個向量
- 同時正交的向量
- 關鍵在於垂直或是正交
- 讓向量與兩向量所在平面垂直（就是你屏幕）
- 但又是如何知道向量n是射入屏幕
- 還是射出呢？
- 這時候就該是右手定則出場的時候啦
- 我知道可能一下子說太多大家可能消化不了
- 沒關係 之後我會舉例幫助大家理解
- 關於右手定則
- 應用的時候需要借助右手所以叫右手定則--
- 拿出食指指向在叉乘運算中第一個向量的方向
- 順序是有關係的
- 下面來試一下
- 我們需要伸出食指
- 指向第一個向量a的方向
- 然後伸出中指
- 指向第二個向量b的方向
- 這樣 你的手看起來
- 會是這樣子
- 我盡量畫出來
- 這真是鍛煉我的美術技能啊
- 好了 這是我的右手
- 我的大拇指是朝下的 看到了嗎？
- 這就是我畫的右手
- 這是食指
- 指向a的方向
- 看起來更像是這個方向哈
- 然後伸出中指 跟食指好像擺了一個字母L一樣
- 或者你可以說這個
- 看起來像是在打槍
- 用中指指向b的方向
- 大拇指指什麽方向就是叉乘得到的向量方向
- 現在你的手指是垂直指向紙面內的
- 如果你把手弄成這個形狀
- 大拇指就會朝下了
- 這就告訴我們n向量指向垂直紙面向裏的方向
- 所以n的模是25 垂直紙面向裏
- 我們可以這麽畫 是用x
- 要是用三維的樣子畫呢
- 看起來會是這樣
- 向量a
- 我看我能不能畫出透視的效果來
- 如果這個垂直向下的是向量n
- 那麽a是這樣
- 用一開始a的顏色畫吧
- a就是這樣的
- 然後呢 b就是這樣
- 我正在二維平面裏畫三維模型
- 大家看起來可能有點困難
- 不過你們應該都明白的
- 之前我是在平面上畫的a和b
- 現在用的透視圖
- 所以能畫出垂直向下的向量
- 這是向量積的定義
- 我就只能講到這了 因爲出於種種原因
- YouTube有時間限制我就不多說了
- 所以之後我會再做一個處理問題的影片
- 在影片中
- 會捎帶說一些磁力學的內容
- 有很多東西要用到向量叉乘
- 希望大家有所理解
- 再見