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Dot vs. Cross Product : Understanding the differences between the dot and cross products
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- 下面我們就向量點乘和叉乘
- 進行一下比較（說向量 向量都可以）
- 首先我畫出兩個向量 這樣形象點
- 待會還有時間的話
- 我們可以探討一下
- 實際向量的點乘與叉乘
- 標記它們是a和b 這是它們的夾角
- 好
- 我們先複習一下它們的定義
- 然後再直觀地看一下
- 希望你已經對兩者有了一些了解
- 那麽 向量a點乘向量b等於多少呢？
- 首先要知道 a點乘b就等於b點乘a
- 點乘的時候向量的順序是可以變而不影響結果的
- 因爲最後得到的是個數
- 結果等於a的模
- 乘以b的模
- 再乘以向量夾角的餘弦
- 很好 下面複習叉乘的定義
- a x b等於多少呢？
- 首先 不同於點乘 它不等於b x a
- 相反的 它的方向跟b x a相反
- 或者可以寫成 它等於-b x a
- 因爲最後的向量會由於兩向量交換順序而反向
- 不管你用什麽順序來做叉乘
- a x b等於
- a的模乘以b的模-
- 寫到這看起來很像點乘對不對
- 不過接下來它們的差別就來了
- （接前邊算式）再乘以向量夾角的正弦
- 夾角正弦
- 這裡是最大的不同之處
- 因爲在做點乘的時候
- 最後得到的是數字 只是個數而已
- 它是沒有方向的 只是一個純量
- 但是叉乘就不一樣了
- 用a的模乘以b的模再
- 乘以夾角正弦
- 這得到的是向量的模 但這個向量是有方向的
- 這個方向由a b共同的法向量來決定
- 同時要注意這個法向量取的是單位向量
- 單位向量在表示的時候 在字母上邊加一個小帽子
- 這是那個單位向量 它的方向是什麽呢？
- 它的方向是由右手定則決定的
- 這是向量n
- 它跟a和b都正交
- 現在你可能會想 我畫的a和b
- 它們都在影片界面所在平面裏
- 或者你們的屏幕的平面裏
- 所以如果要畫
- 跟兩向量都正交的向量
- 它不是垂直射出屏幕
- 就是要垂直射入
- 在之前學習叉乘的時候
- 我說有兩種方法
- 這表示向量射出屏幕
- 這看起來像是箭的頂部
- 如果要表示垂直射入屏幕呢
- 就是這個樣子的 因爲這是箭的後部
- 箭的尾巴
- 那麽怎麽來確定到底是垂直射入還是射出呢？
- 如你所見 這兩個都是與a b同時正交的
- 這就是拿出右手來
- 使用右手定則的時候了
- 將右手食指指向a的方向
- 中指指向b的方向
- 這時拇指的方向就是向量n的方向
- 來試一下
- 我先參考一下我的手
- 做起來不簡單啊
- 你的右手應該是像這個樣子的
- 你的食指 指向a
- 中指指向b
- 這是我的中指
- 我的其他兩個手指就呆在需要呆的地方了
- 比較喜歡讓它們這麽蜷著
- 無名指和小指就蜷曲著吧
- 我的拇指是指向什麽方向呢？
- 我把拇指畫錯角度了
- 實際應該是這個方向的
- 是指向紙內的
- 這是手背 這些就當是血管吧
- 或者 如果我畫對了的話
- 你可以從側面看自己的手
- 看起來會像這樣
- 你可以看到你的小指
- 手掌和小指會是這樣的
- 還有其他的手指
- 中指指向b的方向
- 食指指向a的方向
- 你根本看不到你的拇指
- 因爲拇指指向垂直向下
- 不管怎樣 你應該能明白 a x b
- 向量n是垂直向下的
- 這是單位向量 前邊是所得向量的模
- 因爲單位向量模是1
- 所以叉乘所得的向量模
- 和點乘看起來形式很像
- 都是兩向量模相乘
- 只不過點乘是乘夾角餘弦
- 叉乘是乘夾角正弦
- 不過 最大的區別是
- 夾角正弦是有方向的
- 這是一個和a b都
- 正交的向量
- 現在我們直觀看一下
- 如果之前點乘和叉乘的影片
- 你都看過的話
- 你應該會有一些直觀感受的
- 我會給大家複習一遍
- 因爲當把點乘和叉乘放在一起的時候
- 會看到它們是多麽完美的一對概念
- 首先來研究ab再乘以夾角餘弦
- 在單獨介紹點乘的影片中也提到過
- 如果把b和夾角餘弦相乘
- 會得到什麽呢？
- 當然你可以用自己課下時間
- 仔細想想--
- 餘弦是等於直角三角形中鄰邊比斜邊
- 如果你在這作一條垂直線
- b的模乘以夾角餘弦其實是-
- 在這用個不同的顏色
- 如果在這作垂直線
- 這個長度 這是b乘以θ餘弦
- 我另外畫一個吧
- 不想讓這個圖看起來太亂
- 這是b
- 這是a 標記一下這是b
- 這是a
- 這是夾角θ
- 如果從這向a作一條垂直線
- 這是直角符號
- bcosθ
- cosθ就是鄰邊比斜邊
- 所以bcosθ其實是
- b在a方向上的投影
- 所以這就是那個長度
- 這就是bcosθ
- 所以剛作出的這個向量的長度
- 就是bcosθ
- 當你做點乘運算的時候
- 如果你把點乘的式子看成a乘
- b乘cosθ
- 至少我剛做的例子是這樣
- 你其實是在求
- b的哪一部分跟a的方向相同
- 不管那部分是多長
- 就把它跟a的模相乘
- 這樣就得到了點乘的結果
- 就找到方向相同的部分
- 然後相乘
- 其實就是求 兩個向量方向相同的部分有多少？
- 或者共同指向某方向的部分有多少？
- 或者可以用另一種方式看
- 我在點乘影片裏也說過了
- 可以把點乘看成
- （acosθ ）b
- 交整流乘順序是沒關係的
- 因爲這些都是純量
- 不管按什麽順序乘
- 都是可以的
- acosθ 也是一樣的
- 就是a跟b同向
- 的部分的長度
- 或者說是a在b上的投影
- 所以這個向量（長度）就是
- acosθ
- 這跟之前運算結果是一樣的
- 如果用b跟a同向的部分
- 跟a的模相乘
- 跟用b的模乘以
- a跟b同向的部分
- 得到的數字是一樣的
- 那麽 absinθ是什麽呢？
- absinθ
- 如果這個向量（長度）是acosθ
- 在學向量分解的時候
- 你學過這個的
- 這個向量（長度）就是asinθ
- 所以可以把這個式子重新寫成a的模乘以sinθ 再
- 乘以b的模再乘以法向量n
- 所以 如果用asinθ去乘以b
- 其實是在求
- a的哪一部分跟b是不同向的
- 哪部分是跟b正交的
- 跟b完全無關的
- 沒有相同之處
- 因爲完全是不同的方向
- 這是asinθ
- 如果用它與b相乘
- 就得到了第三個向量
- 這就好像在求
- 這兩個向量到底有多不同？
- 而且求出的向量是另一個完全不同的方向
- 有時候這叫僞向量
- 因爲這應用於一些僞向量的概念中
- 但這些概念中最重要的是力矩
- 當我們討論磁場的時候
- 磁場對電荷的磁場力
- 這些都是力 或者說是物理現象
- 這些現象裏 重要的不是跟某向量平行
- 的力的方向
- 而是與之垂直的力
- 的方向
- 這就是叉乘很有用的地方
- 不管怎樣 希望這能給你一點直觀認識
- 或者可以用另一種方法做
- 可以寫成bsinθ
- 這樣其實是向量b
- 與a垂直的分向量
- 那麽bsinθ 就是這個向量
- 或者我把它畫在這
- 這就好看多了
- 可以交換順序
- 可以用任何一種方法來看
- 可以說這個b跟a完全正交
- 的那部分的長度
- 乘以a的模
- 使用右手定則得到法向量的方向
- 剛才確定了-
- 使用右手定則
- 是物理慣例
- 但是也有人用左手定則的
- 應用方式不同而已
- 右手定則不過是我們一直使用的方法而已
- 所以在做叉乘的時候
- 每個人都知道法向量指向的方向
- 好吧
- 下段影片我會給大家展示
- 在題給出分量表示的情況下
- 怎麽進行點乘與叉乘運算
- 下段影片見