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Electric Potential Energy (part 2-- involves calculus) : Electric potential energy difference in a varying field
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- 在上個影片中 我們算出了
- 在恒定的電場中 移動一個質點
- 要做多少功或需要多少能量
- 現在看一下 能不能在變化的電場中
- 做同樣的計算
- 實際上 然後我們可以算出
- 一個位置相對於另一個位置的電勢能
- 我們設有一個點電荷
- 它可以不是點電荷
- 但是我們設 這是一個
- 電量是正q1庫侖的電荷形成的電場
- 如果我們要畫出電場力線
- 當然 這和無限大平板形成的電場
- 是不同的
- 因爲電場不是恒定的 對吧？
- 這個電荷形成的電場是多少？
- 電場看起來是這樣的
- 本質上是它對
- 質點的作用力
- 總是從一點向外的
- 因爲我們假設問題中的測試電荷
- 總是帶正電的
- 所以一個正電荷
- 和正電荷排斥
- 電場就是庫侖常數乘以電荷q1
- 除以到這個電荷的距離
- 所以如果我要畫出臨近處的電場
- 這是很強的
- 然後隨著變遠 它變弱了一點
- 它總是從電荷處呈放射狀向外
- 這是一點複習
- 我畫的是個向量場
- 這裡 我只是隨機選了幾個點
- 表示出了這一點的場向量
- 是從一點向外的
- 對於任意半徑的一個圓上
- 這些向量的大小應該是相等的
- 我知道我畫的不準確
- 但是希望 你們明白意思 對吧？
- 這些向量的大小
- 隨著距離平方變小
- 所以這就是電場看起來的樣子
- 如果我要畫很多電場力線
- 這說得通 只是作爲複習 對吧？
- 因爲你們知道這個力 如果有另一個測試電荷q2
- 我們知道作用於測試電荷上的力
- 就是q2乘以它 這是庫侖定理 對吧？
- 作用於另外一個質點q2上的力等於
- 電場乘以q2
- 就等於kq1q2除以r方 對吧？
- 這是庫侖定理
- 實際上 這來源於庫侖定理
- 知道了這些
- 我們在這裡選一些帶正電的質點
- 我把這叫做q2
- 因爲下面很亂了 我要寫到上面
- q2 我們設這是個正電荷
- 所以它會和q1排斥
- 我們來求一下 要把這個質點移動
- 確定的距離 要做多少功 對吧？
- 因爲電場要把它向外推
- 把它向裏推要做功
- 所以設我們要向裏推
- 設這是10米
- 設這個距離
- 我畫一條半徑
- 設這個距離是10米
- 我要把這個質點推動5米
- 所以實際上到了這裡
- 這就是最後到達的地方
- 所以距離就是5米
- 所以向這個電荷移動5米
- 要做多少功？
- 你們思考的方法是
- 電場是變化的 對吧？
- 但是我們可以假設一個非常非常
- 無限小的距離
- 我們把這個無限小的距離設爲dr
- 半徑的變化量
- 正如你們看到的那樣
- 我們要做一些微分和積分運算
- 如果你們不理解這些是什麽
- 你們可能要複習或學習一下
- 微積分運算的影片
- 但是把這個質點移動一個非常非常小的距離
- 要做多少功？
- 我們假設在這個非常非常
- 非常小的距離之內
- 電場大概是恒定的
- 所以我們可以說 移動這個非常非常小的距離
- 要做非常非常少的功
- 等於庫侖常數乘以q1q2除以r方乘以dr
- 現在 在我繼續之前
- 我們想一下
- 庫侖定理告訴了我們
- 電荷對這個質點的力是向外的
- 或者說電場對這個質點的力向外
- 把這個質點從這裡移動到這裡
- 我們要用一個向內的力
- 應該是個方向相反的力
- 所以是負的
- 爲什麽是這樣
- 因爲我們要完全抵消電場的力
- 或許如果這個質點已經移動了一點
- 那麽電場力就會讓它減速
- 如果它沒有移動
- 我們要推動它一個無限小的距離
- 讓它移動
- 那麽我們的力
- 就會完全抵消電場力
- 這個質點不會加速或減速
- 所以這就是做的功
- 我只是想解釋一下
- 在這裡寫上負號
- 是因爲我們向著電場的反方向
- 所以我們怎麽算出總的功？
- 我們算出了從這到這的功
- 我畫的比實際上大很多
- 這些dr 這是沿著徑向無限小的變化量
- 如果要算出總功
- 我們只要把它們都加起來
- 我們說 從這裡到這裡的功是多少
- 從這裡到這裡的功是多少
- 從這裡到這裡的功是多少
- 一直到離這個電荷5米處
- 當我們求它們的和 應該怎麽做
- 我們假設這個
- 無限小增量的和
- 正如你們學過的 這只是個積分
- 所以總功等於積分
- 這是個定積分
- 因爲我們從這一點開始
- 我們假設從 這個半徑是10米處
- 這是開始點 到半徑等於5米
- 這可能不夠直觀
- 因爲我們從一個大的值開始
- 到了一個小的值
- 但是這就是我們做的
- 我們把它向裏推
- 然後求-kq1q2除以r方dr的積分
- 所有這些都是常數項 對吧？
- 所以可以把它們提出來
- 所以這就是
- 我不想把空間用完
- -kq1q2乘以從10到5
- 對1除以r方 或r的-2次方
- dr的積分 這就等於-k
- 沒地方了 q1 q2
- 求不定積分
- 我們不用關心正號
- 因爲這是個定積分
- r的-2次方 它的原函數是多少？
- 是-r的-1次方
- 這個-r
- -r上的負號和這個消掉了
- 這就變成了r的-1次方
- 把5代入
- 減去把10代入的值
- 然後 到上面
- 實際上 我把其中一些擦掉
- 我把上面這些擦掉
- 寶貴的空間
- 所以我們說 做的功等於 我把這重寫一下
- 負號在前面
- 然後又一個負號 求原函數
- 它們約掉了
- 所以有kq1q2乘以r=5時原函數的值
- 就是1/5 對吧
- r的-1次方 所以1/r減去
- r=10原函數的值 就是減去1/10 等於
- 1/5 這就是2/10 對吧？
- 所以功等於kq1q2乘以
- 2/10減去1/10等於1/10 這等於kq1q2/10
- 這就是把這個質點從這裡移動到這裡做的功
- 所以同樣的 我們可以說
- 這個質點相對於這一點
- 的勢能
- 這個質點對於這一點的勢能差
- 在這一點勢能大這些
- 單位是焦耳
- 因爲這是能量或功或勢能的單位
- 因爲勢能是能量
- 所以這兩點之間的
- 電勢能差
- 在這一點比這一點大這些
- 再做一個例子
- 實際上 從某些方面想一下
- 你們可能覺得這很有趣
- 這兩點的差
- 實際上 我在下個影片中繼續
- 因爲我發現已經10分鍾了
- 再見