載入中...
相關課程

登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Electric Potential Energy (part 2-- involves calculus) : Electric potential energy difference in a varying field
相關課程
0 / 750
- 在上個影片中 我們算出了
- 在恒定的電場中 移動一個質點
- 要做多少功或需要多少能量
- 現在看一下 能不能在變化的電場中
- 做同樣的計算
- 實際上 然後我們可以算出
- 一個位置相對於另一個位置的電勢能
- 我們設有一個點電荷
- 它可以不是點電荷
- 但是我們設 這是一個
- 電量是正q1庫侖的電荷形成的電場
- 如果我們要畫出電場力線
- 當然 這和無限大平板形成的電場
- 是不同的
- 因爲電場不是恒定的 對吧?
- 這個電荷形成的電場是多少?
- 電場看起來是這樣的
- 本質上是它對
- 質點的作用力
- 總是從一點向外的
- 因爲我們假設問題中的測試電荷
- 總是帶正電的
- 所以一個正電荷
- 和正電荷排斥
- 電場就是庫侖常數乘以電荷q1
- 除以到這個電荷的距離
- 所以如果我要畫出臨近處的電場
- 這是很強的
- 然後隨著變遠 它變弱了一點
- 它總是從電荷處呈放射狀向外
- 這是一點複習
- 我畫的是個向量場
- 這裡 我只是隨機選了幾個點
- 表示出了這一點的場向量
- 是從一點向外的
- 對於任意半徑的一個圓上
- 這些向量的大小應該是相等的
- 我知道我畫的不準確
- 但是希望 你們明白意思 對吧?
- 這些向量的大小
- 隨著距離平方變小
- 所以這就是電場看起來的樣子
- 如果我要畫很多電場力線
- 這說得通 只是作爲複習 對吧?
- 因爲你們知道這個力 如果有另一個測試電荷q2
- 我們知道作用於測試電荷上的力
- 就是q2乘以它 這是庫侖定理 對吧?
- 作用於另外一個質點q2上的力等於
- 電場乘以q2
- 就等於kq1q2除以r方 對吧?
- 這是庫侖定理
- 實際上 這來源於庫侖定理
- 知道了這些
- 我們在這裡選一些帶正電的質點
- 我把這叫做q2
- 因爲下面很亂了 我要寫到上面
- q2 我們設這是個正電荷
- 所以它會和q1排斥
- 我們來求一下 要把這個質點移動
- 確定的距離 要做多少功 對吧?
- 因爲電場要把它向外推
- 把它向裏推要做功
- 所以設我們要向裏推
- 設這是10米
- 設這個距離
- 我畫一條半徑
- 設這個距離是10米
- 我要把這個質點推動5米
- 所以實際上到了這裡
- 這就是最後到達的地方
- 所以距離就是5米
- 所以向這個電荷移動5米
- 要做多少功?
- 你們思考的方法是
- 電場是變化的 對吧?
- 但是我們可以假設一個非常非常
- 無限小的距離
- 我們把這個無限小的距離設爲dr
- 半徑的變化量
- 正如你們看到的那樣
- 我們要做一些微分和積分運算
- 如果你們不理解這些是什麽
- 你們可能要複習或學習一下
- 微積分運算的影片
- 但是把這個質點移動一個非常非常小的距離
- 要做多少功?
- 我們假設在這個非常非常
- 非常小的距離之內
- 電場大概是恒定的
- 所以我們可以說 移動這個非常非常小的距離
- 要做非常非常少的功
- 等於庫侖常數乘以q1q2除以r方乘以dr
- 現在 在我繼續之前
- 我們想一下
- 庫侖定理告訴了我們
- 電荷對這個質點的力是向外的
- 或者說電場對這個質點的力向外
- 把這個質點從這裡移動到這裡
- 我們要用一個向內的力
- 應該是個方向相反的力
- 所以是負的
- 爲什麽是這樣
- 因爲我們要完全抵消電場的力
- 或許如果這個質點已經移動了一點
- 那麽電場力就會讓它減速
- 如果它沒有移動
- 我們要推動它一個無限小的距離
- 讓它移動
- 那麽我們的力
- 就會完全抵消電場力
- 這個質點不會加速或減速
- 所以這就是做的功
- 我只是想解釋一下
- 在這裡寫上負號
- 是因爲我們向著電場的反方向
- 所以我們怎麽算出總的功?
- 我們算出了從這到這的功
- 我畫的比實際上大很多
- 這些dr 這是沿著徑向無限小的變化量
- 如果要算出總功
- 我們只要把它們都加起來
- 我們說 從這裡到這裡的功是多少
- 從這裡到這裡的功是多少
- 從這裡到這裡的功是多少
- 一直到離這個電荷5米處
- 當我們求它們的和 應該怎麽做
- 我們假設這個
- 無限小增量的和
- 正如你們學過的 這只是個積分
- 所以總功等於積分
- 這是個定積分
- 因爲我們從這一點開始
- 我們假設從 這個半徑是10米處
- 這是開始點 到半徑等於5米
- 這可能不夠直觀
- 因爲我們從一個大的值開始
- 到了一個小的值
- 但是這就是我們做的
- 我們把它向裏推
- 然後求-kq1q2除以r方dr的積分
- 所有這些都是常數項 對吧?
- 所以可以把它們提出來
- 所以這就是
- 我不想把空間用完
- -kq1q2乘以從10到5
- 對1除以r方 或r的-2次方
- dr的積分 這就等於-k
- 沒地方了 q1 q2
- 求不定積分
- 我們不用關心正號
- 因爲這是個定積分
- r的-2次方 它的原函數是多少?
- 是-r的-1次方
- 這個-r
- -r上的負號和這個消掉了
- 這就變成了r的-1次方
- 把5代入
- 減去把10代入的值
- 然後 到上面
- 實際上 我把其中一些擦掉
- 我把上面這些擦掉
- 寶貴的空間
- 所以我們說 做的功等於 我把這重寫一下
- 負號在前面
- 然後又一個負號 求原函數
- 它們約掉了
- 所以有kq1q2乘以r=5時原函數的值
- 就是1/5 對吧
- r的-1次方 所以1/r減去
- r=10原函數的值 就是減去1/10 等於
- 1/5 這就是2/10 對吧?
- 所以功等於kq1q2乘以
- 2/10減去1/10等於1/10 這等於kq1q2/10
- 這就是把這個質點從這裡移動到這裡做的功
- 所以同樣的 我們可以說
- 這個質點相對於這一點
- 的勢能
- 這個質點對於這一點的勢能差
- 在這一點勢能大這些
- 單位是焦耳
- 因爲這是能量或功或勢能的單位
- 因爲勢能是能量
- 所以這兩點之間的
- 電勢能差
- 在這一點比這一點大這些
- 再做一個例子
- 實際上 從某些方面想一下
- 你們可能覺得這很有趣
- 這兩點的差
- 實際上 我在下個影片中繼續
- 因爲我發現已經10分鍾了
- 再見