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相關課程
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- 上次我們講到 這裡有個杯子
- 因爲它的頂部是密封的
- 在液體上面有一部分真空
- 液體的上表面積爲A1
- 然後 我戳一個小孔 表面積爲A2
- 這個表面積A2非常小
- 只有A1的1/1000
- 然後使用連續性方程
- 我們說 速度
- 液體表面運動的速度
- V1 乘以A1 液體的總表面積
- 等於流出的速度
- 它是我們要求解的 是其他量的函數
- 乘以輸出面積
- 我犯了個錯誤
- 我不知道上個影片是不是這樣講的
- 或者在錯的影片中這麽講了
- 因此 我們知道初始頂部速度乘以這個頂部面積
- 等於輸出速度乘以- 我們可以把
- A2用A1/1000代替
- 可以把兩邊的A1消掉
- 然後 這裡的速度
- 等於
- 頂部表面下降的速度 等於
- 液體噴出這個小洞的
- 速度的1/1000
- 這樣 實際上 伯努利方程左邊
- 就有3個變量
- 左邊的變量都是些什麽？
- 這個孔的壓力是多少？
- 這個是很重要的
- 當我們講到伯努利- 我重新寫一下
- 伯努利方程
- P1+ρgh1+ρV1^2/2等於
- P2+ρgh2+ρV2^2/2
- 我們已經知道這些項
- 現在我們來求解這些項
- 點2處的壓力是多少？
- 這個很重要
- 你可能會問 這個也是我的第一反應
- 我犯錯的原因是
- 液體在這個深度的壓力是多少？
- 這個伯努利方程並沒有告訴我們
- 伯努利方程告訴我們
- 這個孔的輸出壓力是多少
- 當我們進行推導時 我們說做了多少功-
- 這個是做功項
- 盡管 我們給它做了點變換
- 但是 如果我們考慮這個孔噴出的水
- 它並沒有做功 因爲它對任何東西都沒有施力
- 因此 實際上 它沒有做功
- 當我們考慮壓力時 輸出壓力
- 並不是液體在這個深度的壓力
- 應該把它看成這個孔的外部壓力
- 這種情況下 這個孔就沒有外部壓力
- 假設 如果把這個孔封上
- 然後這個點 當然
- 壓力就是外部對這個杯子施加的壓力
- 而産生的壓力 用來盛水
- 這種情況下 就沒有速度
- 水不會噴出
- 但是 現在 外部壓力爲0
- 這是這個孔本來造成的
- 我們說 P2等於0
- 因此 這個壓力等於0 因爲是在真空中
- P2也等於0 因此 這兩個都等於0
- 記住 這是外部壓力
- P1等是對管內施加的外部壓力
- 可以把這個看成一個管子
- 可以重畫一下 畫成一個管子 上面有個大孔
- 然後往下 有一個超級小的孔
- 像這樣
- 這是真空 液體從這裡進去
- 然後從這裡噴出
- 不管怎樣 進入管子的壓力爲0
- 並且 我們說 既然這裡的這個孔
- 輸出管子的壓力爲0
- 因此 沒有做功
- 這一項呢？
- 這一項是勢能項
- 我們說 h1等於h
- 這個高度爲0 因此這個簡化爲
- ρgh+ρV1^2V1
- 等於這個
- 因此 這個等於ρ/2乘以V2除以1000方
- 我只是把V2/1000代入V1
- 它等於孔的壓力
- 孔的外部壓力 爲0 加上h2
- h2是這裡的高度 也是0
- 假設在高度爲0的地方挖一個孔
- 因此 這個也是0
- 等於這個動能項
- 它不算是動能
- 等於ρ乘V方除以2
- 我們馬上就可以看出來
- 方程的兩邊都有ρ
- 因此 我們可以把方程兩邊同時除以ρ
- 把它們都消掉
- 然後方程兩邊同時乘以2
- 得到2gh+V2^2除以- 1000方等於多少呢？
- 除以1百萬
- 等於V2方
- 我們可以再精確一點
- 可以兩邊同時減去 1除以1000000再乘以V2方
- 得到0.999999V2方
- 但是 假設 爲了簡便起見
- 或者 假設 如果這個不是1000
- 而是1百萬 而這個表面要大得多
- 那麽這一項就會變得非常非常小
- 如果這個孔是表面積的百萬分之一
- 那它就會變得非常小
- 可以忽略這一項
- 因爲它只會使計算更複雜
- 我們假設這個是非常 非常大的數
- 而這個孔的面積要比
- 液體的表面積小的多
- 好比在胡佛水壩挖一個小孔
- 胡佛水壩攔截著這個大湖
- 然後在上面挖個孔
- 因此 這個孔對於液體表面積來說
- 只是非常小的一部分
- 只有當輸出孔遠遠少於輸入孔時
- 才可以這樣假設
- 根據上面說的 輸出速度是多少呢？
- 速度 只要把兩邊開根號
- 得到根號2gh
- 那就是輸出速度
- 每秒鍾流出的液體是多少？
- 我們已經知道了
- 液體呈柱狀流出 因此每秒
- 流出柱狀液體的長度等於速度
- 乘以時間 然後圓柱的橫橫斷面
- 等於輸出面積
- 如果我想知道流出的流量
- 流出的流量
- 要等於孔的面積
- 乘以孔的輸出速度
- 等於面積乘以根號2gh
- 以後我們可以用它來解題
- 如果我們有具體數字的話
- 只剩下一分半了
- 下個影片見吧