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Fluids (part 8) : Beginning of the proof of Bernoulli's Equation.
相關課程
- 假設我們又有一個管子 這是開口
- 有一些流體要穿過它
- 這些流體的速度是v1
- 進入管子的壓力是P1
- 管子開口的面積是A1
- 它可以向上
- 另一端實際上很小
- 流體- 液體以速度v2離開管子
- 它離開時的壓力
- 如果外面有一張薄膜
- 當它被推出管子時
- 水中的壓力是P2
- 小的開口的面積-
- 不一定更小 是A2
- 我們設開口有個高度 平均高度是h1
- 水從開口中流出的
- 平均高度是h2
- 我們不用很關心
- 管子頂部和底部的高度差
- 我們假設h相對管子的尺寸
- 它們大得多
- 有了這些 記住
- 有一些液體要穿過管子
- 我們回到一直出現的
- 能量守恒定律
- 在任何封閉係統中
- 輸入的能量
- 等於輸出的能量
- 所以輸入能量等於輸出能量
- 對係統輸入的能量是多少
- 或者係統這一端的能量是多少？
- 就是你們做的功加上
- 係統在這一點的勢能 加上這一點
- 係統的動能
- 然後我們從能量守恒定律知道
- 它要等於輸出的功加上輸出的勢能
- 加上輸出的動能
- 在以前 我們用了很長時間來說明
- 輸入的勢能
- 加上輸入的動能等於
- 輸出的勢能加上輸出的動能
- 但是係統的初始能量也可以由做功得來
- 所以我們只要把功加到這個方程裏
- 輸入的能量等於輸出的能量
- 有了這個信息 我們看一下能不能
- 對我剛畫的管子做點有趣的計算
- 所以對係統輸入的功是多少？
- 功等於力乘以距離 所以我們只要關注這個
- 就是這個往裏的力乘以這個往裏的距離
- 所以在一段時間t之內 做了多少功？
- 我們在上個影片中學過 經過一段時間t
- 流體可能前進了這麽遠
- 這個距離是多少？
- 這個距離是輸入速度乘以時間
- 所以就是T 所以這是距離
- 力是多大？
- 力就是壓力乘以面積
- 我們可以通過用力除以面積
- 然後乘以面積求出來
- 所以就得到輸入的力除以開口面積乘以輸入面積
- 它們乘除的是同一個數字
- 這個是壓力 這個是面積
- 它就等於輸入距離除以這段時間
- 這就是速度乘以時間 所以輸入的功
- 等於輸入壓力乘以入口面積
- 乘以輸入速度乘以時間
- 面積乘以速度乘以時間-
- 乘以距離是什麽？
- 這是這段時間內 流入的
- 流體的體積
- 所以這就等於流體的體積
- 所以我們可以把這叫做進去的體積 或者體積i
- 這是進去的體積
- 我們知道密度就是質量除以體積
- 或者體積乘以密度等於質量
- 或者我們知道體積等於質量除以密度
- 我對係統做的功 我知道
- 我做了很多很難的 但目前爲止還是能說得通
- 就等於輸入壓力乘以這段時間內
- 流體的體積
- 流體的體積等於
- 在這段時間內的質量
- 我們把這叫做輸入質量 除以密度
- 希望 這對你們有點意義
- 就像我們知道的 流入的體積等於
- 流出的體積 所以流入的質量- 因爲密度不改變
- 就等於流出的質量
- 我們不用寫上流入和流出的質量
- 在任何一段時間內 質量都是相等的
- 進入係統的質量等於
- 離開係統的質量
- 繼續 對於對係統做的功
- 我們有一個表達式 一個有趣的表達式
- 在左邊 係統的勢能
- 是多少？
- 進線端子係統的勢能等於
- 相等的液體質量乘以重力加速度
- 乘以流入的高度 初始高度 乘以h1
- 流體的初始動能等於流體的質量
- 這個質量- 我說的是
- 同樣的圓柱體體積 乘以流體
- 流動速度的平方
- 我們記得除以2就是動能
- 所以這段時間內 進入係統的
- 能量是多少？
- 有多少能量進入了係統
- 就是做的功 就是入口的壓力
- 我沒地方了 所以我把這些都擦掉
- 我可能也要沒時間了 但是 沒關係
- 總比不明白好
- 回到題目中來
- 所以 進入係統的能量就是
- 對係統做的功 我重寫成這樣
- 就是輸入的壓力 我們把這叫做P1
- 乘以質量除以流體的密度
- 不管它是多少
- 這是輸入的功 加上 勢能是多少？
- 我寫在了這裡 這就是mgh
- m是這部分液體的質量 h是平均高度
- 你們幾乎可以想一下 圓柱體中心
- 離地面的高度
- 因爲這是g 我們假設在地球上
- 所以這是h1 因爲高度實際上是變化的
- 所以這就是輸入的勢能
- 加上動能 1/2mv1的平方
- 這是輸入的動能
- 我們知道這要等於
- 係統對外輸出的能量
- 這要等於在輸出端
- 同樣的能量
- 要等於輸出的功 所以
- 這就是輸出壓力乘以質量除以密度
- 加上輸出勢能 就是mgh2
- 加上對外的動能
- 就是mv2的平方/2
- 我剛意識到我沒時間了
- 下個影片繼續
- 再見
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