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Fluids (part 9) : Second part of the Bernoulli's Equation proof. Beginning of a problem that uses the equation.
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- 我們快速複習一下
- 上個影片講的內容
- 有一個形狀奇特的管子 液體以
- V1的速度流入
- 從左到右的壓力爲P1
- 這個孔的面積爲A1
- 相同的變量 2表示
- 流出管外的量
- 上個影片我們列的式子
- 是根據能量守恒定律列出來的 本質上說 焦耳
- 係統中這個點的能量
- 或者說 我們輸入係統的能量
- 要等於輸出係統的能量
- 利用那個信息列出這個方程
- 並不是很複雜
- 我們知道對係統做的功
- 等於輸入壓力乘以液體質量
- 除以液體密度
- 勢能
- 等於mgh
- 其中 質量爲管內液體的質量
- 如果問 在一段時間T內
- 做了多少功？
- 我是這麽考慮的
- 一段時間T後 這裡的能量是多少？
- 那段時間內的動能等於
- 液體質量乘以速度的平方
- 除以2
- 這是動能公式
- 當然
- 本質上說 它要等於輸出能量
- 因此 這個是對外做的功 或者說
- 在輸出端 一段水柱做了多少功？
- 水的體積相同 記住
- 一段時間T內 不論這些水的體積是多少
- 體積都是一樣的 可能它是
- 一個更長的圓柱 因爲這邊速度更快
- 因此 在輸出端 圓柱更長
- 然後 我們說
- 它們的體積相同 質量也相同
- 因此 我們說 這段圓柱
- 在相同時間內 所做的功等於輸出壓力
- 乘以這段圓柱質量除以它的密度
- 密度相同 因爲液體的密度
- 一直都是相同的 乘以圓柱的質量
- 它和這一段的質量是一樣的
- 因爲體積和密度沒有發生改變
- 因此質量是一樣的
- 現在 這段圓柱的勢能更大
- 它的高度爲h2 我們假設它比h1高
- 它的動能等於這段液體的質量
- 乘以速度的平方
- 即輸出速度 再除以2
- 這是輸出的勢能 這是輸出的動能
- 它們相等
- 這個是伯努利方程 我們看看是否能化簡
- 這樣我們就可以把
- 不需要知道的變量消掉
- 我們知道每一項都有m
- 因此我們把它消掉
- 方程兩邊同時除以m
- 得到
- 我不喜歡密度在分母這裡
- 因此 我們把方程兩邊都同時乘以密度
- 然後剩下的是
- 我換個鮮豔點的顏色寫
- P 即輸入壓力 加上
- 把每一項都乘以ρ 即密度
- 因此是輸入壓力加上ρgh1 h1爲輸入高度
- 也是初始高度 加上ρv^2/2
- 這個爲ρv^2/2 等於
- 兩邊都乘以ρ
- 因此 得到- 這個是輸入速度
- 等於輸出壓力加上密度乘以g
- 乘以輸出高度
- 每一項都保持一致
- 這裡寫上2 假設這個是壓力2
- 這個是高度2 加上ρ乘以速度的平方
- 這個是伯努利方程 它有各種各樣的-
- 這個是很簡潔的形式
- 比如說 假設高度爲常數
- 因此可以不考慮這一項
- 如果高度是常數 如果速度更快
- 這整項是常數 因而壓力會更小
- 想一想 如果高度是常數 這個不變
- 但是如果這個速度增加
- 但這整個是常數 壓力就會減小
- 類似的 如果壓力增加
- 那麽速度就會減小
- 這樣講有點不夠直觀
- 但是另一方面 這樣說是有道理的
- 當速度增加 壓力就減小
- 實際上 這就是爲什麽飛機會飛 這樣的事情
- 會發生的原因
- 不過 一會兒我們要詳細講一下
- 我們看看是否能利用伯努利方程
- 做一些有用的事
- 你們要記住這個
- 它應該不難記
- 這是壓力 然後這個是勢能項
- 但是不是質量 而是密度
- 這個是動能項
- 它不是動能
- 因爲我們把它變換了一下
- 不是質量 而是密度
- 根據剛剛說的 我們來做個題
- 我把這個留著
- 因爲 你們可能還沒記住
- 然後把其他的都擦掉
- 不是這樣擦
- 應該是這樣的
- 像這樣把它們擦掉
- 把有用的留下
- 好 這樣就行了
- 然後再清理一下
- 把這些都擦掉
- 假設有一個杯子
- 畫一個杯子
- 有時候它比畫直線什麽的
- 簡單多了
- 不 這樣太暗了
- 換成紫色吧
- 這個畫圖工具非常寬
- 需要改一下
- 好 這就是我們要的杯子
- 裏面有一些液體
- 實際上 假設它有個蓋子
- 裏面有一些液體
- 可能剛好是紅色的
- 我們還沒有碰到過紅色的液體
- 讓我- 哦 這不是我想要的
- 因此 那裏面有液體
- 假設h- 我們不知道單位是多少
- 假設在液體表面以下h米
- 這裡全是液體
- 這裡挖個孔 然後液體就會噴出來
- 問題是 液體流出的速度是多少？
- 速度是這個高度的函數
- 再告訴你們其他條件
- 假設這個孔很小
- 我們把這個孔的面積稱爲A2
- 假設水的表面積爲A1
- 假設這個孔很小 以至於水的表面積-
- 假設 A2等於A1的1/1000
- 相對杯子的上表面積來說
- 這個孔非常小
- 這樣的話 我們看看應該怎麽做
- 才能求出流出的速度
- 伯努利方程告訴我們輸入壓力加上
- 輸入勢能加上輸入動能
- 等於輸出的這個 這個 這個
- 因此輸入壓力等於多少呢？
- 恩 輸入壓力 這個點的壓力
- 這裡沒有空氣 也沒有液體
- 因此這個點的壓力爲0
- 輸入高度是多少呢？
- 假設這個孔的高度爲0
- h等於0 因此輸入高度h1即h
- 如果這個等於0 那麽這個高度等於h
- 輸入速度是多少？
- 從連續性方程可知 或者不管它叫什麽
- 輸入速度乘以輸入面積
- 等於輸出速度乘以輸出面積
- 我們還知道輸出面積等於輸入面積的1/1000
- 這個是面積2 因此我們知道
- 輸入速度乘以A1等於輸出速度
- 乘以A1的1/1000
- 我們可以說A1/1000
- 兩邊都除以A1
- 我們知道輸入速度等於V2除以1000
- 這個很容易知道
- 伯努利方程的左邊
- 有三個輸入
- 伯努利方程的右邊是什麽呢？
- P2等於多少？
- 這個點的壓力是多少？
- 哦 超過時間了
- 我們留到下個影片再接著講吧