載入中...
相關課程

登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Launching and Landing on Different Elevations : More complicated example involving launching and landing at different elevations
相關課程
0 / 750
- 講一個稍微複雜一些的二維抛體運動題目
- 這裡 我將從一個平台發射出抛體
- 然後它將落到另一個平台
- 抛體發射角度使用一個不大好算的角度 53度
- 從加農炮中發出 我明確一下
- 這個角度是53度
- 從加農炮中出來的炮彈速度是90米/秒
- 我解釋一下發射時的高度
- 從加農炮口到下面這裡 高25米
- 假設這個高度是9米
- 這裡是從25米高的地方發射
- 上次影片中 我這樣畫的加農炮
- 假設發射時的高度爲0
- 然後炮彈落回高度0
- 這裡 我們假設炮彈從25米高離開炮口
- 這裡 我們假設炮彈從25米高離開炮口
- 一離開炮口 它就會在豎直方向減速
- 一離開炮口 它就會在豎直方向減速
- 最後落地時 假設不是落在同一高度
- 落在這個不同高度
- 如何考慮這個問題呢
- 第一步總是
- 將速度向量分解爲水平和豎直分量
- 使用豎直分量求空中待的時間
- 然後使用水平分量
- 在已知滯空時間時 求出飛行距離
- 我們仍然假設 氣動阻力可以忽略
- 和上一節的計算一樣
- 這裡我還是準備一步步求解
- 首先畫出向量
- 長度是90
- 這是速度向量 其角度是53度
- x方向同向量夾角是53度
- 我畫一下水平分量 水平分量是這樣的
- 豎直分量則是這樣
- 向量的豎直分量 這是什麽邊
- 這是對邊
- 根據基礎三角學知識 角度的sin值是對邊/斜邊
- 因此我們知道 sin53度=這個對邊…
- 等於豎直速度的大小…
- 下標y表示這是y方向 豎直方向
- 除以斜邊長度 即原向量的大小
- 方程兩側可以同時乘以90
- 有 這一邊的大小
- 等於90乘以sin53度
- 如果要求水平分量
- 水平分量這一邊是角的鄰邊
- 根據soh-cah-toa口訣 cos是鄰邊/斜邊
- 於是有 速度水平分量 也就是x分量的大小
- 除以斜邊90
- 等於cos53度
- cos是鄰邊比斜邊 鄰邊是這個長度 除以90
- 兩側同時乘以90有 水平分量大小
- 等於90乘以cos53度
- 如何求出物體在空中的時間呢
- 用豎直分量來求
- 由於這裡存在高度差
- 我們不能使用原來那種簡單邏輯
- 不能認爲最終速度和初始速度大小相同 方向相反
- 不能認爲最終速度和初始速度大小相同 方向相反
- 不過我們可以使用上一節推導出的公式
- 我把這個公式複製下來
- 複製 粘貼 拖到這裡來
- 我們可以使用這個公式
- 位移等於初始速度…
- 這裡只看豎直方向 乘以時間改變量
- 加上加速度?時間改變量的平方/2
- 那麽如何用此公式求出空中滯留時間呢
- 從25米高到9米高的位移是多少
- 在這個過程中 物體豎直位移是向下16米
- 也可以這樣考慮
- 豎直方向上的位移是-16米
- 對吧 25-9=16
- 然後可以將此代入到上一節推出的公式
- -16… 單位我就不寫了 爲了節省空間 爲了簡潔美觀
- 等於初始速度… 記住 這裡我們只關心豎直方向
- 記住 這個負號是因爲位移是向下的
- 高度在減小
- 這裡是豎直速度 我們求過了 是90乘以sin53度
- 乘以時間改變量
- 加上重力加速度-9.8米/秒方…
- 加上重力加速度-9.8米/秒方…
- 還要除以2 所以是-4.9米/秒方
- 乘以Δt方 也就是時間改變量平方
- 如何求解呢 這裡顯然不能提出Δt來求解
- 注意到 這是一個二次方程
- 二次方程的解法是
- 將所有項放到方程的同一側
- 然後要麽因式分解 要麽采用更一般的二次公式法
- 這我在其它影片中證明過
- 豎直位移是-16米時 我們可以用二次公式求解時間
- 我將得到兩個解 其中一個是負的時間改變量
- 相當於在過去某一時刻 也是-16米
- 這在本問題中無意義
- 我們要的是正的時間
- 下面將所有項放到方程一邊
- 兩側同時加16
- 左側得到0
- 0等於… 我將使用我們所習慣的寫法
- 將高次項寫在前 -4.9乘以Δt方
- 然後+90sin35度乘以Δt
- 然後+16
- 整個式子等於0
- 這是我們熟知的二次方程
- 根也就是Δt 我們能用二次公式求出Δt
- 於是Δt=…
- 對此不熟的同學 可以參看可汗學院代數係列影片
- 裏面有專門講二次公式的 甚至講解了證明過程
- 它等於-B… B也就是Δt的係數
- 它等於-90sin53度…
- 我把二次公式寫一下 算是幫助你們回憶一下
- 方程的一般形式是Ax2+Bx+C=0
- 其根爲2A分之 負B加減根號下B平方減4AC
- 其根爲2A分之 負B加減根號下B平方減4AC
- 這兩個x值滿足原方程
- 這裡也是一樣 這是B值 負B 加減…
- 我們只關心"加"這一個 因爲這才是我們要的正值
- 我還是都寫一下吧 加減根號下
- B平方 也就是這個的平方
- 也就是90sin53度的平方
- -4AC 其中A是-4.9 C是16
- 根號一直到這裡 整個除以2A
- A是-4.9 那麽2A就是-9.8
- 下面可以用計算器算出時間改變量了
- 我只關心"加號"這個根
- "減號"這個值留給你們自己求
- 看結果是否得到負的時間改變量
- 這沒有意義 我們只關心正時間改變量
- 讓位移是-16米的正時間改變量
- 用計算器算一下
- 小心點算
- -90sin53度加… 這裡只看加號 結果得到正值
- 加上根號下(90sin53度)2…
- 這裡負負得正 於是有4×4.9×16
- 這是根號下所有內容
- 這裡算出的是分子
- 然後整個除以-9.8
- 哦 我發現我錯了
- 我一直在說 加號會給出正的時間
- 但我意識到這是錯的 如果取加號
- 分子得到正的2.14 但之後還要除以-9.8
- 結果是負值 這不是我們要的
- 所以 我們關心這裡取減號時的值
- 我重新用計算器算一下 這次取減號
- 回退一下
- 把這個用減號代替
- 這裡取減號 因爲結果需要是正時間
- 此時分子爲負值 這才是我們關心的
- 負的分子除以-9.8
- 結果四捨五入是14.89秒
- Δt的正版本是14.89秒
- 我最初說這裡應該取加號 這是錯的
- 因爲這裡還有一個負的分母
- 只有分子爲負時 整個式子才會爲正
- 於是得到正的時間爲14.89秒
- 影片有些長了 不過我還是求一下水平位移吧 很快就好
- 物體在空中待的時間是14.89秒
- 如果還要問水平位移
- 水平位移等於在空中的時間乘以常數水平速度
- 水平位移等於在空中的時間乘以常數水平速度
- 常數水平速度我們已經求出來了
- 下面來求x方向的位移
- 用這個時間 Ans也就是剛算出的答案
- 乘以這個值 90cos53度
- 結果是806米 所以這個位移是806米