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Launching and Landing on Different Elevations : More complicated example involving launching and landing at different elevations
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- 講一個稍微複雜一些的二維抛體運動題目
- 這裡 我將從一個平台發射出抛體
- 然後它將落到另一個平台
- 抛體發射角度使用一個不大好算的角度 53度
- 從加農炮中發出 我明確一下
- 這個角度是53度
- 從加農炮中出來的炮彈速度是90米/秒
- 我解釋一下發射時的高度
- 從加農炮口到下面這裡 高25米
- 假設這個高度是9米
- 這裡是從25米高的地方發射
- 上次影片中 我這樣畫的加農炮
- 假設發射時的高度爲0
- 然後炮彈落回高度0
- 這裡 我們假設炮彈從25米高離開炮口
- 這裡 我們假設炮彈從25米高離開炮口
- 一離開炮口 它就會在豎直方向減速
- 一離開炮口 它就會在豎直方向減速
- 最後落地時 假設不是落在同一高度
- 落在這個不同高度
- 如何考慮這個問題呢
- 第一步總是
- 將速度向量分解爲水平和豎直分量
- 使用豎直分量求空中待的時間
- 然後使用水平分量
- 在已知滯空時間時 求出飛行距離
- 我們仍然假設 氣動阻力可以忽略
- 和上一節的計算一樣
- 這裡我還是準備一步步求解
- 首先畫出向量
- 長度是90
- 這是速度向量 其角度是53度
- x方向同向量夾角是53度
- 我畫一下水平分量 水平分量是這樣的
- 豎直分量則是這樣
- 向量的豎直分量 這是什麽邊
- 這是對邊
- 根據基礎三角學知識 角度的sin值是對邊/斜邊
- 因此我們知道 sin53度=這個對邊…
- 等於豎直速度的大小…
- 下標y表示這是y方向 豎直方向
- 除以斜邊長度 即原向量的大小
- 方程兩側可以同時乘以90
- 有 這一邊的大小
- 等於90乘以sin53度
- 如果要求水平分量
- 水平分量這一邊是角的鄰邊
- 根據soh-cah-toa口訣 cos是鄰邊/斜邊
- 於是有 速度水平分量 也就是x分量的大小
- 除以斜邊90
- 等於cos53度
- cos是鄰邊比斜邊 鄰邊是這個長度 除以90
- 兩側同時乘以90有 水平分量大小
- 等於90乘以cos53度
- 如何求出物體在空中的時間呢
- 用豎直分量來求
- 由於這裡存在高度差
- 我們不能使用原來那種簡單邏輯
- 不能認爲最終速度和初始速度大小相同 方向相反
- 不能認爲最終速度和初始速度大小相同 方向相反
- 不過我們可以使用上一節推導出的公式
- 我把這個公式複製下來
- 複製 粘貼 拖到這裡來
- 我們可以使用這個公式
- 位移等於初始速度…
- 這裡只看豎直方向 乘以時間改變量
- 加上加速度?時間改變量的平方/2
- 那麽如何用此公式求出空中滯留時間呢
- 從25米高到9米高的位移是多少
- 在這個過程中 物體豎直位移是向下16米
- 也可以這樣考慮
- 豎直方向上的位移是-16米
- 對吧 25-9=16
- 然後可以將此代入到上一節推出的公式
- -16… 單位我就不寫了 爲了節省空間 爲了簡潔美觀
- 等於初始速度… 記住 這裡我們只關心豎直方向
- 記住 這個負號是因爲位移是向下的
- 高度在減小
- 這裡是豎直速度 我們求過了 是90乘以sin53度
- 乘以時間改變量
- 加上重力加速度-9.8米/秒方…
- 加上重力加速度-9.8米/秒方…
- 還要除以2 所以是-4.9米/秒方
- 乘以Δt方 也就是時間改變量平方
- 如何求解呢 這裡顯然不能提出Δt來求解
- 注意到 這是一個二次方程
- 二次方程的解法是
- 將所有項放到方程的同一側
- 然後要麽因式分解 要麽采用更一般的二次公式法
- 這我在其它影片中證明過
- 豎直位移是-16米時 我們可以用二次公式求解時間
- 我將得到兩個解 其中一個是負的時間改變量
- 相當於在過去某一時刻 也是-16米
- 這在本問題中無意義
- 我們要的是正的時間
- 下面將所有項放到方程一邊
- 兩側同時加16
- 左側得到0
- 0等於… 我將使用我們所習慣的寫法
- 將高次項寫在前 -4.9乘以Δt方
- 然後+90sin35度乘以Δt
- 然後+16
- 整個式子等於0
- 這是我們熟知的二次方程
- 根也就是Δt 我們能用二次公式求出Δt
- 於是Δt=…
- 對此不熟的同學 可以參看可汗學院代數係列影片
- 裏面有專門講二次公式的 甚至講解了證明過程
- 它等於-B… B也就是Δt的係數
- 它等於-90sin53度…
- 我把二次公式寫一下 算是幫助你們回憶一下
- 方程的一般形式是Ax2+Bx+C=0
- 其根爲2A分之 負B加減根號下B平方減4AC
- 其根爲2A分之 負B加減根號下B平方減4AC
- 這兩個x值滿足原方程
- 這裡也是一樣 這是B值 負B 加減…
- 我們只關心"加"這一個 因爲這才是我們要的正值
- 我還是都寫一下吧 加減根號下
- B平方 也就是這個的平方
- 也就是90sin53度的平方
- -4AC 其中A是-4.9 C是16
- 根號一直到這裡 整個除以2A
- A是-4.9 那麽2A就是-9.8
- 下面可以用計算器算出時間改變量了
- 我只關心"加號"這個根
- "減號"這個值留給你們自己求
- 看結果是否得到負的時間改變量
- 這沒有意義 我們只關心正時間改變量
- 讓位移是-16米的正時間改變量
- 用計算器算一下
- 小心點算
- -90sin53度加… 這裡只看加號 結果得到正值
- 加上根號下(90sin53度)2…
- 這裡負負得正 於是有4×4.9×16
- 這是根號下所有內容
- 這裡算出的是分子
- 然後整個除以-9.8
- 哦 我發現我錯了
- 我一直在說 加號會給出正的時間
- 但我意識到這是錯的 如果取加號
- 分子得到正的2.14 但之後還要除以-9.8
- 結果是負值 這不是我們要的
- 所以 我們關心這裡取減號時的值
- 我重新用計算器算一下 這次取減號
- 回退一下
- 把這個用減號代替
- 這裡取減號 因爲結果需要是正時間
- 此時分子爲負值 這才是我們關心的
- 負的分子除以-9.8
- 結果四捨五入是14.89秒
- Δt的正版本是14.89秒
- 我最初說這裡應該取加號 這是錯的
- 因爲這裡還有一個負的分母
- 只有分子爲負時 整個式子才會爲正
- 於是得到正的時間爲14.89秒
- 影片有些長了 不過我還是求一下水平位移吧 很快就好
- 物體在空中待的時間是14.89秒
- 如果還要問水平位移
- 水平位移等於在空中的時間乘以常數水平速度
- 水平位移等於在空中的時間乘以常數水平速度
- 常數水平速度我們已經求出來了
- 下面來求x方向的位移
- 用這個時間 Ans也就是剛算出的答案
- 乘以這個值 90cos53度
- 結果是806米 所以這個位移是806米