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Optimal angle for a projectile part 4 Finding the optimal angle and distance with a bit of calculus
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Optimal angle for a projectile part 4 Finding the optimal angle and distance with a bit of calculus
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- 既然我們有了距離是物體初射角度
- 的函數
- 我們可以用微積分來算出最佳角度
- 讓距離最大的角度
- 因爲我們只關心從0度到90度的角
- 限制在這個範圍上
- 所以我們要找出0度和90度之間最好的值
- 設θ是一個大於等於0度
- 少於等於90度的角
- 所以我們看一下怎麽做
- 只是爲了了解
- 我們怎麽用微積分解題
- 記住 當求導數
- 就是求斜率 一條線的瞬時斜率
- 如果要畫出來
- 我鼓勵你們自己畫出來
- 或許用圖形計算器
- 它可能看起來像在這個區間裏
- 它看起來會像是這樣
- 這是距離 是θ的函數
- 這是θ軸
- 我們關心的是0到90度的角
- 所以如果要把它畫出來 這是0度
- 這裡可能是90度
- 這個函數的圖像看起來像這樣的
- 它看起來應該是像這樣的
- 它看起來應該是像這樣的
- 我們要做的找出一個角
- 能抛出最遠距離的角
- 所以這是 在這裡 這是最遠的距離
- 所以我們要做的是找出這個角
- 當你們看一下圖像
- 如果願意 你們可以在圖像計算器上做
- 在最佳距離處 瞬時斜率是多少？
- 它是平的
- 這裡的斜率是0
- 所以我們要做的是求這個函數的導數
- 然後只要算出 在哪個角度
- 這個函數的導數或瞬時斜率等於0
- 然後就做完了 我們就知道了這個神秘的角
- 這個最合適把物體彈射出去的角
- 所以我們求導數
- 導數 只要用函數求導法則
- 導數 我猜應該把這叫做d'
- 或者可以說距離對θ的導數
- 等於
- 我們假設s和g是常數
- 所以現在就不用管它們了
- 我們可以把它們放到前面
- 因爲我們假設它們是常數
- 然後可以用求導法則
- 來求這部分對θ的導數
- 在乘積求導法則裏 我們用第一個函數的導數
- 乘以第二個函數
- 所以cosθ的導數等於-sinθ
- 我們用這個乘以第二個函數
- 所以它乘以sinθ
- 然後加上第一個函數
- 就是cosθ乘以第二個函數的導數
- sinθ的導數是cosθ
- 我知道這有點令人迷惑
- 我們所做的就是
- 用第一部分的導數乘以第二部分
- 然後用第二部分的導數乘以第一部分
- 我讓這更加明確一點
- 我們求了這個式子的導數
- 所以這就是對θ的導數
- 我們求了這個對θ的導數
- 我們求cos的導數然後乘以sin
- 求sin的導數然後乘以cos
- 這只是求導法則
- 現在 這算出來是什麽？
- 我們可以化簡一下
- 所以可以把d'寫成等於
- 常數不變寫到這裡
- 2s方除以g 乘以
- -sinθ乘以sinθ
- 這就是負sinθ的平方
- 然後 cosθ乘以cosθ
- 就是加cosθ的平方
- 現在 我們剛說的是 我要求出一點
- 這一點的導數或瞬時斜率等於0
- 所以讓這些等於0
- 所以現在我們只要求出θ
- 現在 要求出θ首先要做的是
- 兩邊除以2s方除以g
- 如果左邊除以它
- 這和2s方除以g消掉了
- 如果0除以它 假設這不是0
- 它不應該是0 然後還得到0
- 所以這個方程化簡成 我用藍色寫
- -sinθ的平方加cosθ的平方
- 等於0
- 現在 如果方程兩邊加上sinθ的平方
- 兩邊加上sinθ的平方
- 就剩下了- 這些消掉了
- cosθ的平方等於sinθ的平方
- 現在 在這個範圍內 兩者都是正的
- 所以我們只要取
- 兩者的正平方根
- 或方程兩邊求主根
- 我們做一下
- 所以方程兩邊取主根
- 你們可以這麽做
- 實際上 一個比這種方法更有趣的方法是
- 方程兩邊除以cosθ的平方
- 假設在這個範圍內 它不等於0
- 所以cosθ的平方
- 你們也可以用正平方根做
- 主根 任何一個都是可行的
- 但是這很有趣 因爲左邊變成了1
- 1就等於
- sinθ的平方除以cosθ的平方是什麽？
- 這就相當於
- sinθ除以cosθ的平方
- 一個平方除以另一個平方
- 這就相當於分子除以分母
- 然後整體的平方
- sinθ除以cosθ是多少？
- 就是tanθ
- 所以就得到1等於tanθ的平方
- 或者 我們可以方程兩邊
- 取主根
- tan在0到90度這個範圍內是正的
- 所以這種方法很酷
- 如果兩邊取正平方根
- 就得到1的正平方根等於1
- 1等於tanθ
- 然後兩邊求tan的反函數
- 或者是arctan
- 就得到arctan1等於θ
- 這是一種求出θ這個角的神奇方法
- 如果求它的正切 得到1
- 你們可以用計算器來求出它
- 或者你們可能還記得
- 這個θ arctan1等於45度
- 或者如果你們要求出弧度 就是π/4弧度
- 任何一個都是可以的
- 所以當我射出物體
- 最佳的角度就是45度
- 現在 當初射角度是45度
- 這個最長的距離是多少？
- 我們可以回到原來的公式中
- 我們只要回到原來導出的公式中
- 如果初射角度是45度
- sin45度是多少？
- sin45度等於根2除以2
- 你們可以用計算器算出來
- 或者你們從單位圓中算出
- cos45度也是根2除以2
- 實際上 如果只要求
- 這個方程的主根
- 就得到這個範圍內
- cosθ等於sinθ
- 只在45度的時候是成立的
- 但是有了這些
- 我們可以把這代回原來的表達式
- 或原來的函數中
- 所以飛行的最佳距離是
- 距離的函數
- 以45度角出射的飛行距離
- 等於2s方除以g乘以cosθ
- 就是根2除以2
- cos45等於根2除以2乘以sinθ
- 就是根2除以2
- 根2乘以根2是多少？
- 就是2
- 我們化簡一下
- 所以根2乘以根2 等於2
- 這個2和這個2約掉了
- 然後 這個2和這個2約掉了
- 所以最好的出射角度是45度
- 所有剩下的是s方除以g
- 假設沒有氣動阻力 一種理想環境下
- 不管在哪個星球上 不管多快
- 如果沒有氣動阻力 最好的角總是45度
- 如果用最好的角度射出
- 飛行距離就是s方除以g
- 回到原來的問題中 如果s是10m/s
- 我們設s是10m/s
- 假設我們的環境裏
- 重力加速度等於10m/s^2
- 然後根據我們算出的
- 最佳距離就是s方-
- 所以它是100 除以重力加速度
- 是10
- 如果求m/s的平方
- 就會得到m^2/s^2
- 除以重力加速度 m/s^2
- 秒的平方約掉了
- 就有m的平方除以m
- 最佳距離應該是10米
- 很不錯