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Proof (Advanced): Field from infinite plate (part 2) : We see that the infinite, uniformly charged plate generates a constant electric field (independent of the height above the plate)
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- 繼續 有這個無限大平板
- 這只是個無限大的平板
- 這是個帶電的平板 它的電荷密度是σ
- 我們要做的是說 好
- 取上面一個點
- 它在帶電平面上方h單位高度處
- 我們想要算出這一點的電場強度
- 實際上就是到這一點正下方的點
- 距離是r的環形成的
- 我們要算出這個環在這一點
- 形成的電場是多少
- 我們已經算出電場是這麽大
- 我們在上個影片中做了一個對稱的討論
- 我們只關心y分量
- 因爲我們算出了在電場中的任意點處
- x分量消掉了
- 因爲如果這裡有個點 就會有x分量
- 電場的x分量
- 應該是這個方向 向右
- 但是這裡會有另外一個點
- 它的x分量就會和這個消掉
- 所以我們只關心y分量
- 所以最後 我們認真的算出了
- 平板上方h單位高度處 這個環形成的
- 電場的y分量是多少
- 所以這個問題解決了
- 我們看一下能不能把
- 半徑從0到無窮的所有環相加
- 算出總的y分量
- 或者實際上是總電場
- 因爲我們發現所有的x分量都消掉了
- 平板上方h單位處
- 這一點的總電場
- 所以我把這些都擦掉
- 這樣我有地方做難的數學計算
- 現在要做很多微積分運算
- 所以我把這些都擦掉
- 如果你們忘了怎麽推導的 看前面的影片
- 我們把這些都擦掉
- 因爲我認爲我會需要很多空間
- 好了
- 我們再畫一下 這樣就不會忘了
- 我們做的是什麽
- 這是向任何方向延伸的平板
- 平板上方有一個點
- 我們要算出這一點的電場
- 我們已經得出了
- 電場向上的結論
- 所以我們只關心y分量
- 它在表面上方h單位處
- 我們算出了圍繞這一點的半徑是r
- 的環形成的電場
- 電場的y分量是多少？
- 我們已經算出是這個
- 所以現在我們要做的是求積分
- 所以這個平板的總電場
- 等於從
- 這是個非常難看的積分
- 半徑從0到無窮
- 所以我們要求
- 半徑從0到無窮的所有
- 環的電場之和
- 因爲這是個無限大平板
- 所以我們算出整個平板的影響
- 所以我們要求每個環的和
- 所以每個環形成的電場
- 這是每個環形成的電場
- 我換個顏色
- 這個淺藍有點單調
- Kh2πσrdr除以h方加r方的3/2次方
- 現在 我們把這化簡一下
- 我們把常數提出來
- 讓式子看起來簡單一點
- 所以這等於從0到
- 提出K 我要留下2
- 你們會很快看到這是爲什麽
- 但是我要把所有的常數提出來
- 我們先不積分
- 所以這等於Khπσ乘以
- 從0到無窮的積分 對什麽積分？
- 所以這裡還剩下什麽？
- 剩下了2r 所以可以把這重寫成-
- 實際上 我沒空間了
- 2rdr除以h方加r方的3/2次方
- 或者我們可以寫成-3/2次方 對吧？
- 所以它的原函數是什麽？
- 這實際上是代換積分法 對吧？
- 我可以做個代換
- 如果你們覺得用換元法更舒服
- 但是此時你們也許能看出來
- 我們可以用u代換
- 如果我們只是想算出它的原函數
- 如果u等於h方加r方
- h是個常數 那麽du等於
- 我的意思是 du dr 這是常數 所以它等於2r
- 或者可以說du等於2rdr
- 所以如果要求2rdr除以
- h方加r方的3/2次方的原函數
- 這就相當於
- 用換元法求反函數
- 2rdr 我們在這裡做過了
- 這就是du 對吧？
- 所以這是du除以 然後這是u 對吧？
- h方加r方等於u
- 這是根據定義做出來的
- 所以u的3/2次方 等於
- 我們可以把這寫成u的-3/2次方du
- 現在這很簡單
- 這是指數定理的反向應用
- 所以這等於-2u的-1/2次方
- 可以確定 對吧？
- 如果求它的導數
- -1/2乘以-2等於1
- 然後減去1 就得到-3/2
- 然後加c
- 但是因爲我們實際上要做定積分
- c約掉了
- 或者可以說這等於
- 因爲我們做了這個代換 -2除以 -1/2
- 這就等於除以h方加r方的
- 平方根 對吧？
- 所以我用洋紅色做的所有的運算
- 這是爲了算出這個的反導數
- 我們算出來它等於
- -2除以根下h方加r方
- 所以這個算出來了
- 我們繼續求出定積分的值
- 所以這個式子化簡成
- 這是個馬拉松式的問題太麻煩了 但是滿足 K
- 我們帶入所有的常數
- Khπσ 我們甚至可以把-2提出來
- 乘以-2 所有這些
- 我們要求出這兩個範圍之間
- 定積分的值
- 1除以根下h方加r方
- 算出無窮時的值減去0時候的值 對吧？
- 這個表達式等於多少？
- 1除以根下h方
- 加無窮的平方 對吧？
- 當r等於無窮 會怎麽樣？
- 無窮的平方還是無窮
- 1除以無窮等於0
- 所以這個表達式變成了0
- 當你們給它賦值爲無窮
- 這變成了0 減去r=0時表達式的值
- 當r是0的時候會怎麽樣？
- 當r=0
- 就得到1除以根下h方 對吧
- 我把所有的寫出來
- 這就變成了-2Khπσ乘以0減
- 1除以根下h方
- 這就等於-2Khπσ乘以
- 1除以根下h方
- 這就是1除以h 對吧？
- 這裡有一個負號乘以-1/h
- 這個負號和這個負號約掉了
- 然後這個h和這個1/h約掉了
- 所有剩下的 在做這些工作之後
- 我用一個亮一點的顏色
- 因爲做了很多工作才得到這些 是2Kπσ
- 所以我們從各層面上看一下
- 首先 在這裡我們做了什麽？
- 我們可能在數學裏迷失了
- 這是淨電場
- 無限大均勻帶電平板上方h高度處一點
- 的電場 電荷密度是σ
- 但是注意 這是這一點的電場
- 但是式子裏沒有h
- 所以這實際上就是告訴我們
- 電場強度
- 和在平板上方的距離沒有關係
- 這就是說這是個恒定大小的場
- 可以在平板上方任何地方
- 電荷都是相等的
- 唯一的 不好意思 不是電荷
- 電場是相等的 如果有檢測電荷
- 靜電力就會相等
- 與電場力
- 或靜電力有關的是
- 電荷密度 對吧？
- 這是庫侖常數 π是π 2π
- 我認爲包含了π是很有意思的
- 但是這是另一個要考慮的
- 但是最重要的是電荷密度
- 所以希望你們感到相當滿意
- 在這裡我們學到最重要的知識是
- 如果有一個無限大的均勻帶電平板
- 電場 平板上方h高度處
- 的電場 h是多少沒有關係
- 可以是這裡 可以是這裡 可以是這裡
- 所有這些點
- 電場強度都是相同的
- 或者在這些點
- 對檢測電荷的靜電力都是相同的
- 這是一個簡潔的式子
- 現在 如果你們相信
- 前兩個影片中發生的所有事情
- 你們現在可以相信兩塊
- 平型平板之間
- 有著均勻電場
- 尤其遠離邊界部分
- 再見