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Relationship between angular velocity and speed : How angular velocity relates to speed
相關課程
- 假設有一個物體繞圓周軌迹運動
- 假設這裡是軌道的中心 或者說圓心
- 物體繞圓周軌迹像這樣運動
- 逆時針圓周軌道 當然 順時針也行
- 我想知道它繞圓心旋轉的快慢程度
- 如何同速度聯係起來
- 假設該物體每秒轉5圈
- 1秒內 1 2 3 4 5 每秒都轉5圈
- 相應是每秒多少弧度呢
- 回想一下弧度 它是角的測量方式
- 也可以計算出每秒多少度
- 如果用度 每一圈就是360度
- 如果用弧度 每一圈就是2π弧度
- 沿這個圓周軌迹 一圈也是2π弧度
- 一圈弧長總是2π倍半徑 而弧度同圓半徑無關
- 這正是弧度的定義
- 5圈每秒 然後是2π弧度每圈
- 稍微分析一下單位 這兩個約掉
- 得到5?2π 也就是10π
- 單位是弧度/秒
- 這裡進行了單位分析 但願直觀上很容易理解
- 每秒5圈 而每圈是2π弧度
- 那麽每秒就是10π弧度
- 轉5圈 也就是轉了5次2π弧度
- 因此5×2π 就得到10π弧度/秒
- 5圈/秒 或10π弧度/秒
- 測量的是同一個量
- 即繞中心圓周運動的快慢程度
- 繞中心圓周運動的快慢程度
- 稱爲角速度
- 叫角速度是因爲
- 它告訴我們 角度變化的快慢程度
- 我們可以在二維中處理它
- 不過不久前的物理課程中我講過實際處理方式
- 雖然它被稱作角速度
- 但我們可以把它當成角速率
- 它確實是向量
- 該向量的方向朝屏幕外 有點不那麽直觀
- 這是一個僞向量 以後我還會講到
- 它是向量 向量方向依賴於施轉方向
- 它是向量 向量方向依賴於施轉方向
- 繞逆時針旋轉時
- 實際角速度向量指向屏幕外
- 這相當於是在三維空間內
- 繞順時針旋轉時 角速度向量朝屏幕內
- 考慮方式是右手定則
- 四指彎曲方向朝施轉方向
- 大拇指指的方向就是
- 向量 或者說僞向量的方向
- 這我就不細講了
- 這裡 我們只用考慮二維平面的情況
- 角速度也可以考慮爲僞純量
- 這裡只要知道施轉方向 我們就能把它當純量看
- 這裡的角速度是10π弧度/秒
- 這裡的角速度是10π弧度/秒
- 角速度用希臘字母歐米伽表示
- 小寫歐米伽ω
- 大寫歐米伽是Ω
- ω是表示角速度的傳統符號
- 考慮方式有幾種
- 可以將角速度考慮爲角度變化量/時間變化量
- 比如這裡角變化是10π弧度 而時間變化是每1秒
- 也可以從微積階層面考慮 取瞬時角速度
- 那就是角對時間的導數
- 即角如何對時間改變
- 這就不多講了 下面看這同速率的關係
- 這同物體實際速率是什麽關係呢
- 要得到物體的速率 需要知道物體每一圈轉動了多遠
- 要得到物體的速率 需要知道物體每一圈轉動了多遠
- 看這裡 假設半徑是r
- 那麽每一圈轉動2πr
- 這裡是r米 把單位寫上
- 周長是2πr米
- 角速度等於ω弧度/秒
- 每秒轉多少圈呢
- 這我們之前算過
- 一圈是2π弧度
- 說清楚一些 角速度有時也用每秒轉數衡量
- 但國際單位制中 角速度單位是弧度/秒
- 這裡我要將ω從弧度/秒轉換爲圈數/秒
- 弧度約掉 有ω/2π圈/秒
- 我們還知道一圈是多少米
- 一圈是2πr米
- 複製粘貼過來
- 角速度 單位換爲圈/秒
- 也就是ω/2π圈/秒
- ω單位是弧度/秒 換算爲圈/秒
- 也就是ω/2π圈/秒
- 然後還要轉換爲米/秒 用這個乘以
- 每一圈對應的米數
- 一圈就是圓周長 所以是2πr米/圈
- 圈的單位約掉
- 2π約掉
- 結果是ωr米/秒
- 這就是速度的大小
- 或者說物體沿圓周運動的速率
- 速度的大小可以用v表示
- 我明確一下 v不是向量
- 不是速度 而是速度的大小
- 或者說是速率 它等於ω?r
- 速率v等於角速度大小ω乘以半徑r
- 速率v等於角速度大小ω乘以半徑r
- 我不想把你們搞糊塗 這不是向量
- 如果這是向量 我會在上面標箭頭的
- 如果這是向量 我也會標箭頭
- 表示從屏幕往外的向量
- 但這裡只表示角速度的大小
- 用文字表述也就是 速率=角速度大小?圓軌迹半徑
- 用文字表述也就是 速率=角速度大小?圓軌迹半徑
- 用文字表述也就是 速率=角速度大小?圓軌迹半徑
- 要表示出角速度
- 兩側同時除以半徑即可
- 角速度ω=速率v/半徑r
- 以後 我們可以用這個公式得到其它有趣結果
- 但願這一節過後 大家能明白這些量之間的關係
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