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相關課程
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- 我們來學一下點乘的有關知識
- 點乘積 坦白地說
- 是兩種向量相乘中的一種
- 是比較簡單的一種
- 點乘積是什麽呢？
- 我爲什麽不給出定義呢
- 一會兒我要給你直觀感受
- 如果有兩個向量 向量a點乘向量b
- 這樣畫箭頭
- 我可以這樣來畫箭頭
- 等於向量a的絕對值乘以
- 向量b的絕對值
- 乘以它們二者的夾角的餘弦
- 這是怎麽來的呢？
- 這看起來有點隨意
- 但是我想 通過一個直觀的解釋
- 會更容易理解
- 那麽我隨意畫兩個向量
- 這是向量a 我畫的又粗又長
- 這樣有利於講解
- 我再畫向量b
- 向量b
- 我再畫夾角的餘弦 至少
- 畫出它們之間的夾角
- 這是θ
- 我們可以從兩個角度來看
- 我把它們標注一下
- 這是向量a
- 我讓顏色保持一致
- 這是向量b
- 可以從兩個角度看這個乘積
- 可以看做向量a
- 因爲乘法和順序無關
- 所以你可以調換順序
- 所以它可以寫成
- 向量a的絕對值
- 乘以cosθ 再乘以
- 使顏色保持一致 向量b
- 這是乘號 這是點乘
- 可以不用寫
- 這是常規的乘法
- 因爲這些都是純量
- 當你看到向量之間的點乘號時
- 你就是在做有關向量點乘積的問題
- 如果我們像這樣重新安排這個表達式
- 它表示什麽意思？
- cosθ是什麽？
- 我問你個問題
- 如果我畫一個直角
- 在這裡 垂直於b
- 我們在這裡做一個直角
- cosθ soh-coh-toa因此是coh
- 等於鄰邊比上斜邊
- 鄰邊是哪一個？
- 是這一個
- 斜邊是向量a的大小
- 對吧？
- 我重新寫一遍
- cosθ 表示向量a――
- cosθ等於鄰邊-
- 你可以這樣叫它
- 我們叫它a在b上的投影吧
- 就像-
- 如果你發射一束垂直於b的光
- 如果這裡有一個光源
- 光線直著下來
- 這一邊就是a在b上的影子
- 或者你可以認爲它是a和b方向一致的
- 的一部分
- 所以這個投影 至少
- 我有了對投影
- 的直觀感受 我把它看做影子
- 如果有一個垂直入射的光源
- 那麽那個向量在這個向量上的
- 投影是哪一部分？
- 如果你思考一下 這部分投影
- 可以這樣叫 a在b上的投影
- 或者說
- 可以叫它 a下標b
- 這是它的絕對值
- 是向量a投影到b上的部分
- 這是鄰邊 再除以斜邊
- 斜邊是向量a的絕對值
- 這是基本的運算
- 思考這個問題的另一個角度是
- 等式兩邊同時乘以向量a的絕對值
- 得到a在b上的投影
- 也就是這一個邊的另一種叫法
- a投影後和b方向相同的那部分
- 這是另一種說法
- 等式兩邊同時乘以|a|
- 等於 乘以|a|
- 等於向量a的絕對值乘以cosθ
- 恰好和上面的相同
- 是點乘積的定義
- 所以思考點乘積的另一個角度就是
- 你可以把這一項用
- a在b上投影的絕對值代替 就是這一邊
- 乘以b的絕對值
- 這很有趣
- 所有兩個向量的點乘
- 我們取一個向量
- 計算出這個向量絕對值的多少
- 在投影後和
- 另一個向量方向相同的部分
- 把它們相乘
- 它有什麽應用呢？
- 我們來想一下
- 功可以嗎？
- 我們在物理中學到的
- 功等於力乘以路程
- 但這不是總的力
- 乘以總路程
- 它指的是
- 在前進方向上的力
- 如果你是在微積分部分看到的
- 那麽你應該回顧一下物理部分
- 假如我有一個重10牛的物體
- 把它放在冰上 所以沒有摩擦力
- 我們不必考慮摩擦力
- 我拉著它前進
- 力向量 這表示力向量
- 假如力向量是100牛
- 這是我編的數 100牛
- 假設我拉著它向右滑行
- 距離向量是10米
- 平行於地面
- 兩個向量的夾角是60度
- 也就是π/3
- 我們還是用度來表示
- 這樣更直觀一點
- 夾角是60度
- 這段距離是10m
- 我的問題是 用這根繩子拉著它走
- 與地面成60度角
- 用100牛的力
- 拉著這個方塊向右走了10m
- 我一共做了多少功？
- 功等於力乘以路程
- 但不是總的力
- 是在前進方向上
- 的力的絕對值
- 那麽前進方向上的
- 力的絕對值是多少？
- 是力向量的
- 水平分量
- 等於100牛
- 乘以cos60°
- 可以求出
- 100牛的力水平向右的分量是多少
- 另一個思考角度是
- 如果這是力向量
- 下面這個是路程向量
- 那麽你所做的總功
- 等於力向量點乘路程向量
- 利用點乘號
- 做力和路程的點乘積
- 我們知道
- 點乘積的定義是力向量的絕對值
- 也就是100牛
- 乘以路程向量的絕對值
- 也就是10m
- 再乘以夾角的餘弦
- cos60°
- 等於1000N・m
- <i>cos60° cos60°等於多少?</i>
- 等於根號3除以2（此處應爲1/2 後面類推）
- 如果沒記錯的話是根號3除以2
- 所以乘以根號3除以2
- 所以2和1000約分 分子是500
- 等於500乘以根號3焦耳
- 不論具體數字是多少
- 我覺得是700左右
- 或者是800左右
- 我不確定
- 但是重要的是
- 認識到點乘是有用的
- 可以用在做功上
- 實際上就是計算
- 某向量
- 在另一向量上的投影
- 現在還有另外一種解釋
- 你可以認爲它是
- |a|乘以|b|cosθ
- 這仍然是合理的
- |b|cosθ是什麽？
- 如果看|b|cosθ
- 你可以當做練習
- 把它做出來
- 這是向量b的長度
- 在向量a上的投影
- 計算的順序無關緊要
- 當你計算叉乘積時
- 就要注意順序 a叉乘b 或者b叉乘a
- 但是做點乘積時
- 順序就無關緊要了
- 所以|b|cosθ等於向量b的長度
- 在向量a上的投影
- 如果在這裡做一條垂直線
- |b|cosθ就是這部分
- 這部分是|b|cosθ
- b的模乘以cosθ
- 你會說
- 向量b在向量a方向上的投影是多少？
- 然後把兩個模相乘
- 或者你會說
- 向量a在向量b方向上的
- 投影是多少？
- 然後兩個模相乘
- 現在我認爲能夠
- 確定你已經明白了
- 點乘和叉乘的差別
- 點乘的結果是一個數
- 兩個向量點乘 得到一個數
- 最後得到的是一個純量
- 爲什麽這有趣呢？
- 它告訴你
- 你可以說
- 這兩個向量互相增強的程度
- 因爲你取了
- 它們在相同方向上的模 並相乘
- 叉乘幾乎是相反的
- 你取的是它們的正交分量
- 區別是 這裡是sinθ
- 我不想把這幅圖畫的太亂
- 但是你應該回顧一下叉乘的課
- 我會講另外一次課
- 來對比一下這兩者
- 叉乘是 你肯定會說
- 我們把它們
- 彼此垂直的模相乘
- 不在同一個方向上
- 它們確實相互正交
- 然後 你必須選取一個方向
- 因爲並不是說
- 和這兩者在同一個方向上
- 你要選擇一個方向
- 這個方向要和兩個向量都垂直
- 這就是爲什麽方向很重要
- 而且你必須用右手定則
- 因爲有兩個向量
- 這個方向在三維空間中
- 要和兩個向量垂直
- 時間不夠用了
- 我會繼續講 希望下次課的討論
- 不要讓你太迷惑
- 我將要比較
- 叉乘和點乘
- 下次再見