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Visualizing Vectors in 2 Dimensions : Visualizing, adding and breaking down vectors in 2 dimensions
相關課程
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- 我們迄今處理的所有問題 基本上
- 發生在一維 你可以去前進和後退
- 你可以向前後 左右 上下方向移動
- 不過我想在這影片開始討論
- 二維的問題
- 甚至把這段影片的問題擴展到
- 3或4個真正任意數量的維度
- 或者如果我們正在處理經典力學
- 你不會需要超過3個維度
- 而如果你要處理多於一個維度
- 我們也將要處理二維向量
- 我只是想通過這部影片確保
- 你至少了解兩維向量的基礎
- 記住向量同時有大小和方向
- 所以我想做的第一件事就是給你一個直觀的了解
- 兩維的向量如何相加
- 所以我們說這裡我有一個向量A
- 所以再次由這個箭頭的長度指定其大小
- 按箭頭的方向它的方向指定
- 所以它進入這一方向後
- 比方說我有另一個向量稱爲向量B
- 就是這樣
- 我想在這個影片做的是想想會發生什麽
- 當我讓向量A和向量b相加
- 當你直觀地描繪向量時 是有幾件事情得想想
- 例如向量a的最重要的事情是只要長度對了
- 方向對了 實際上畫在什麽地方是無所謂的
- 所以這可能是向量a 這也可能是向量a
- 注意它具有相同的長度並有相同的方向
- 這也是一個向量 我可以在這裡畫一個向量
- 這無關緊要 我可以在這裡畫一個向量
- 我可以畫一個向量b 我可以在這裡繪制向量b
- 它仍然是向量b 因爲它具有相同的大小和方向
- 請注意 我們並不是說它的尾部開始在同一個地方
- 從向量a的尾巴開始
- 在這裡我可以畫向量b
- 我總是可以得到同一個向量 但可以到處移動
- 我可以移動它 只要它具有相同大小
- 相同的長度和方向
- 我這樣做的原因是圖像上描繪出向量加法
- 如果我想向量a加上向量b
- 在未來的影片我會告訴你更多解析計算
- 我可以畫出向量a
- 所以這是向量a
- 然後我可以畫出向量b
- 但我把向量b的尾部放到向量a的頭部
- 所以我把向量b移動到向量a的頭部
- 然後向量b會是這個樣子
- 如果你從a的尾部到b的頭部
- 然後叫它向量c
- 這是a和b的總和
- 它應該是有意義的 如果你想想看
- 比方說 這些是位移向量
- 所以a顯示出我們在這個方向移動了多少
- b顯示出我們在這個方向移動了多少
- 所以在這個方向b的長度
- 我要說 如果你有一個位移a
- 然後你有一個位移b
- 你的總位移是多少呢？
- 我想你會讓它們往這個方向移動這麽多
- 然後再在這個方向移動這麽多
- 所以你淨移動量是往這一方向這麽多
- 因此這是爲什麽這個總和是這個
- 現在我們可以使用同樣的想法分解任何二維向量
- 把它拆成分量
- 我會很快給你更好地理解這是什麽意思
- 所以我有一個向量a 讓我選擇一個新字母
- 讓我們稱之爲向量x
- 讓我們稱之爲向量x
- 我可以說向量x是某些量的和
- 這綠色的向量這裡 還有這個紅色向量
- 請注意 如果x從綠色向量尾部開始
- 然後去到洋紅色向量的頭部
- 然後洋紅色向量從綠色向量的頭開始
- 然後結束在向量x的頭部
- 我這樣做的原因是希望你們了解
- 這個組合的意義
- 好吧 綠色向量加洋紅向量得出
- X向量 這是有意義的
- 我把綠色向量頭部放到洋紅向量尾部
- 就在這裡 但我之所以這樣做是
- 我可以把x表達爲這兩個向量的總和
- 然後再把x分解成垂直分量和水平分量
- 這樣我可以叫這個水平分量 叫這個垂直分量
- 或者叫x的垂直分量
- 我可以把這個叫做x的水平分量 或者換個畫法
- 我可以把這個X垂直移走
- 記住在什麽地方畫出來並不要緊
- 只要方向和大小一樣
- 我可以這麽畫x垂直分量
- 你看到可以這樣表示向量x
- 你可以這樣表示向量x 我會用同一顏色標記
- 你可以把向量x表示成
- 水平和垂直分量的和
- 水平和垂直分量的和
- 我們會再次看到這是超級強大的
- 因爲它們能做的就是把二維問題
- 換成兩個獨立的一維問題
- 一個作用在水平方向一個作用在垂直方向
- 我想再多做一點數學運算
- 我剛剛告訴你所有的長度
- 它實際上是分解
- 讓我告訴你分解向量是什麽意思
- 所以我們說有一個看起來像這樣的向量
- 我盡我所能 這裡有一個向量看起來是這樣
- 它的長度是5 我叫它向量a
- 我會說向量a的長度等於5
- 然後我們要給它定一個方向
- 我們給定它的方向的方法是
- 給出它和X軸正方向的夾角
- 所以 也許我會在這裡繪制坐標軸
- 所以我們說這裡是Y軸正方向
- 是垂直方向
- 這在X軸正方向是水平方向
- 然後指定該向量的方向
- 在這裡我會得到這個角度
- 我會得到一個非常奇特的角度 但是
- 具體原因是最後數字會很整齊
- 我要把它定爲36.8699度
- 所以我爲了某個原因挑選特別的數值
- 我想做的是我想弄明白這個向量的水平
- 和垂直分量 我想把它們分解成
- 向上向下 或者向左或向右 兩個方向
- 所以 我怎麽做呢 我可以直接畫出來
- 看他們什麽樣 垂直分量看起來像這樣
- 垂直分量看起來像這樣
- 水平分量看起來像這樣
- 它的水平分量看起來像這樣
- 它的水平分量的畫法是從向量a開始
- 向量往x方向 只往x方向
- 爲了回到向量a的頭 你需要
- 有垂直分量 有時我們說
- 我們說垂直分量a下標y
- 它在y方向移動
- 我們可以叫這個水平分量的a下標x
- 我想弄清楚a下標y的大小
- 還有a下標x 我們如何做到這一點？
- 另一種畫法是 我已經基本上建立一個直角三角形
- 這是一個直角三角形 我們知道這個三角形的長度
- 這條邊的長度 斜邊的長度
- 那將是向量a的大小
- 向量的大小a等於5
- 我們已經在這裡知道
- 因此 我們如何找出這一邊？
- 我們可以使用基本三角計算
- 如果我們知道角度和斜邊
- 我們算出這個角的對邊？
- 因此 這裡是這個角的對邊
- 並如果我們忘記了基本的三角運算
- 現在我們可以重新學習
- SOH CAH TOA 正弦是對邊比斜邊
- 餘弦是鄰邊比斜邊 正切是對邊比鄰邊
- 角度已知 斜邊已知 我們要算對邊
- 因此 我們可以說 我們的角度的正弦
- 36.899度的正弦值等於
- 對邊比斜邊
- 在角度的對邊是Y分量的大小
- 等於我們的Y分量的大小
- y分量的大小比上斜邊的大小
- 在這裡的長度將等於5
- 如果兩邊乘以5 就得到 5乘以36.899度的正弦
- 等於垂直分量的大小
- 我們向量a的垂直分量的大小
- 這之前 我拿出計算器 弄清楚這是什麽
- 讓我爲它的水平分量做同樣的事情
- 在這裡 我們知道這一邊是角度的鄰邊
- 斜邊已知
- 餘弦是鄰邊比斜邊
- 因此 我們知道 36.899度的餘弦等於
- 餘弦是鄰邊比斜邊 這等於x分量的大小
- 我們x分量比斜邊 斜邊這裡是
- 斜邊的大小是
- 長度5
- 我們再次兩邊乘以5
- 我們得到5乘以36.899度的餘弦值等於
- 我們的X分量的大小 我們的x分量
- 讓我們拿出計算器算清楚
- 拿出深受信賴的TI-85
- 確保它是在度模式
- 所以讓我查一下 是我們在度模式那裏
- 我想確保我們是不是在弧度模式
- 現在退出 我們的垂直分量等於
- 5倍的36.899度正弦
- 如果我們把它取整成3
- 因此 這是我們的垂直分量等於3
- 讓我們做同樣的事情 我們的水平分量
- 對於我們的水平分量
- 我們有5乘以36.899度的餘弦
- 再次 我們在百分位取整就得到4
- 因此 我們得到了4
- 因此 我們在這裡的情況下 我們有
- 這是經典的3 4 5畢達哥拉斯三角形
- 我們的水平分量的大小是4
- 垂直分量的大小等於3
- 你可能會奇怪薩爾爲什麽我們要算得這麽麻煩？
- 我們將看到在下一個影片裏 如果要討論速度
- 在這個方向5米/秒 我們實際上可以說
- 我們可以分解成2個分量速度
- 我們可以說它以3米/秒向上
- 同時也以4米/秒往水平方向移動
- 它使我們能夠把問題分解成兩個簡單的問題
- 兩個一維問題 而不是一個二維問題