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Why Distance is Area under Velocity-Time Line : Understanding why distance is area under velocity-time line
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- 我們有一個以5m/s速度移動的物體
- 假設它向右移動
- 給了方向 因爲這是個向量
- 所以向這個方向移動 在這裡
- 我們把速度時間曲線畫出來
- 這是速度
- 我實際上畫的是速度的大小
- 你們可以用這表示 ||v||
- 所以這是速度的大小
- 然後 這個軸 是時間
- 所以速度不變 是5m/s
- 所以它的大小是5m/s 是恒定的
- 當時間變化
- 速度不變
- 所以速度是5m/s
- 現在 我的問題是
- 5秒之後它走了多遠？
- 5秒之後 這是1s 2s 3s 4s 5s 在這裡
- 所以5秒之後它走了多遠
- 有兩種思考方法
- 第一種 我們知道速度等於位移除以時間
- 位移就是位置的變化量
- 所以這是位移的變化量除以時間變化量
- 或者第二種思考方法
- 如果兩邊乘以時間變化量
- 就得到速度乘以時間變化量 等於位移
- 所以位移是多少？
- 我知道速度是5m/s
- 5m/s 這就是速度 我用別的顏色標記出來
- 我們知道時間變化量是5s
- 所以得到 這個秒和這個秒約掉了
- 就得到5×5=25米
- 這很簡單
- 但是有趣的是
- 這就是直線下方長方形的面積
- 我要在這個影片中給你們展示
- 通常情況下 如果把速度畫出來 速度的大小
- 所以可以說 速率對時間
- 或者我們只要用速度的大小對時間
- 曲線下方的面積就是經過的距離
- 或是位移
- 因爲位移就是速度乘以時間的變化量
- 所以如果把這個長方形拿出來
- 我畫一個稍微不同的 速度是變化的
- 所以畫另外一種情況
- 此時 加速度是恒定的
- 這裡的加速度是1m/s/s 就是1m/s^2
- 我把同樣類型的圖畫出來
- 盡管現在看起來有點不同
- 所以這是速度軸
- 我留點空間
- 這是速度軸
- 我只是畫上了速度的大小
- 這是時間軸
- 這是時間 我在上面標上刻度
- 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 速度大小用m/s表示
- 時間用秒表示
- 所以怎麽樣了？
- 假設我們從-
- 所以起始速度
- 或者說起始速度的大小
- 所以起始速率 可以說
- 說起始速率有點奇特
- 是0
- 所以起始速度是0
- 一秒之後 怎麽樣了？
- 一秒之後 變快了1m/s
- 所以現在是1m/s 2秒之後怎麽樣了？
- 現在 比剛才又快了1m/s
- 又過了一秒 如果繼續
- 如果過了1秒 那麽就比這快了1m/s
- 如果你們記得代數1課上講的斜率的意思
- 在這個圖中 就是加速度
- 我們知道加速度等於
- 速度變化量除以時間變化量
- 這裡時間變化是沿著x軸
- 所以這是時間變化量
- 這裡是速度變化量
- 當我們把速度 或者速度的大小 和時間的關係畫上
- 這條直線的斜率就是加速度
- 因爲我們假設加速度是恒定的
- 有恒定的斜率
- 所以這只是一條直線 不是曲線
- 現在 我要做的是考慮一種情況
- 我們設加速度是1 m/s^2 這麽做是爲了
- 時間變化量是5秒
- 我的問題是 我們走了多遠？
- 是個比剛才
- 更有趣一點的問題
- 所以我們從速度是0開始
- 然後過了5秒 加速度是1m/s^2
- 所以1 2 3 4 5 這就是我們的位置
- 所以過了5秒 我們知道了速度
- 速度是5m/s
- 但是我們走了多遠？
- 所以我們可以形象化的想一下
- 可以說 看 可以試著在這畫長方形
- 我們在 或許這裡的速度是1m/s
- 如果1m/s乘以1秒
- 這得到一段距離
- 下一段是長一點的距離
- 這樣算
- 我可以繼續畫下去
- 但是然後你們 等等 這些長方形丟失了-
- 因爲這不是- 這段時間內 速度不總是1m/s
- 一直在加速
- 所以實際上我應該分開這些長方形
- 我可以分成更多的長方形
- 所以或許 每半秒一個
- 所以在這半秒內 以這個速度前進
- 以這個速度前進了半秒
- 速度乘以時間等於位移
- 然後算下一秒
- 同樣的 這算出了位移
- 如此等等
- 我認爲你們看到的是
- 你們畫的長方形越小
- 越接近曲線下方的面積
- 就像這種情況
- 曲線下方的面積等於經過的距離
- 很幸運 這只是個三角形
- 我們知道怎麽算出三角形的面積
- 所以三角形的面積等於1/2乘以底乘以高
- 希望這對你們說得通
- 因爲如果只是底乘以高
- 就得到整個長方形的面積
- 三角形的面積只是它的一半
- 所以這種情況下經過的距離
- 或者說是位移
- 只是因爲我們要確定 我們關注的是向量
- 位移等於
- 或者我應該說位移的大小
- 也就是距離
- 是1/2乘以底 就是5秒
- 乘以高 就是5m/s
- 乘以5m/s 換個顏色
- 這個秒和這個秒約掉了
- 就剩了1/2乘以5乘以5米
- 所以是1/2乘以25 就等於12.5米
- 所以這是個有趣的方法
- 有很多有趣的方法
- 希望你們能意識到 如果要畫速度時間曲線
- 首先 曲線下方的面積 給定了一個時間
- 就能算出走了多遠
- 其次 另一個有趣的是 曲線的斜率
- 代表了加速度
- 這個斜率是多少？
- 這是完全平坦的
- 這是因爲速度不變
- 所以這種情況下 加速度是恒定的
- 加速度的大小等於0
- 速度不變
- 右邊 加速度是1m/s^2
- 這就是爲什麽這條直線的斜率是1
- 另一件有趣的事是
- 即使加速度恒定
- 仍然可以求出距離
- 只要求曲線下方的面積 像這樣
- 所以我們能 能得到12.5米
- 最後我想給你們介紹的是
- 實際上 我們下個影片再講
- 我要給你們介紹平均速度
- 現在我們接受了
- 經過的距離等於
- 速度時間曲線下方的面積