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Snell's Law Example 2
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- 來看一個較複雜一些的斯涅爾定律例題
- 這裡有一位女士站在池塘邊
- 她手持激光筆
- 激光筆比水面高出1.7米
- 激光經過8.1米到達水面
- 然後光線朝內側偏折
- 這裡是進入較慢電介質 考慮一下汽車的比方
- 外側輪胎在外面待更久 所以速度更快
- 因此是向內偏折
- 光線最後到達池塘底部這裡
- 題設說池塘是3米深
- 要求的是這一點的位置
- 也就是求這個距離
- 爲此 我要求出這個距離 對應這裡
- 然後求出這一小段 然後加起來
- 我可以求出這一段 激光到達水面前的這段水平距離
- 然後再求出這一小段距離增量
- 這需要一些三角函數知識 以及斯涅爾定律
- 先從簡單的開始 計算這個距離
- 這段距離在後面是需要的
- 先計算沿水面的這一段距離
- 激光照射到水面上之前 水平方向的距離
- 這是簡單的畢達哥拉斯定理問題
- 這是直角
- 8.1這條是斜邊 設要求的這個距離是x
- x的平方+1.7的平方=8.1的平方
- 簡單的畢達哥拉斯定理應用
- x的平方+1.7的平方=8.1的平方
- 兩側同時減去1.7的平方
- 有x平方=8.1的平方-1.7的平方
- 於是x等於這個的正平方根
- 因爲距離肯定是正的
- x=根號下8.1方減1.7方
- 用計算器計算一下這個x
- 根號下8.1方減1.7方
- 結果是7.92
- x大致是7.92
- 下面要求這一小段增量距離
- 加上之前求的x 就能知道整個距離了 看看怎麽求
- 下面考慮一下入射角和折射角
- 向水面作一條垂直線
- 這個角度是入射角
- 記住 斯涅爾定律中關心的是該角的sin值
- 我寫一下吧
- 我們知道 這是入射角
- 而這是反射角
- 上面是空氣 因此是空氣的反射率
- 上面是空氣 因此是空氣的反射率
- 乘以sinθ? 這是根據斯涅爾定律 θ?是入射角
- 等於水的反射率
- 乘以sinθ? 也就是折射角的sin值
- 這些折射率n值可以從表中查出
- 表和這個題目都來自ck12.org的flexbook
- 如果能求出θ?
- 這一小段增量就能求出
- 使用三角函數即可
- 只要知道sinθ? 就能求出這段距離
- 兩種方式都行 如果能求解出這個角度
- 我們就能通過三角函數求出這段距離
- 要求解θ? 我們要知道sinθ?的值
- 下面代入數字
- 空氣的折射率查表得知是1.00029
- 乘以sinθ? 這個目前我們還沒有求出來
- 不過這是基本的三角運算 記得soh-cah-toa
- sin是對邊比斜邊
- 考慮的是這個角 我先把直角三角形補全
- 對邊比斜邊 也就是這條邊同斜邊的比值
- 對邊的值也就是x 也就是7.92
- 因此sinθ?=對邊/斜邊
- 這是sin的定義
- 我們只要求sinθ? 甚至不需要求出θ?
- sinθ?=對邊/斜邊=7.92/8.1
- 這等於水的折射率 也就是1.33
- 乘以sinθ?
- 要求sinθ? 只需兩側同時除以1.33
- 兩側同時除以1.33 有1.00029×7.92/8.1 再除以1.33
- 這就等於sinθ?
- 用計算器算一下
- 1.00029×7.92
- 7.92可以用Ans表示 這樣更精確一些
- 然後除以1.33 再除以8.1
- 這就得到了sinθ?的值
- 寫一下 0.735=sinθ?
- 等式兩側同時取反正弦 可以求出θ?
- θ?等於arcsin0.735
- 取剛才算出的答案的反正弦值
- 求出θ?等於47.34度
- 求出θ?等於47.34度
- 下面用三角函數求出
- 這一小段距離
- 這個角已經知道
- 我們要求的是角度的對邊值
- 我們還知道鄰邊值是3
- 處理對邊和鄰邊的三角函數是什麽
- 正切 toa 正切是對邊比鄰邊
- 我們知道這個角的正切值 tan47.34°
- 等於對邊比鄰邊 對邊我記作y
- 於是等於y除以鄰邊 即3米
- 要求解y 方程兩側同時乘以3
- 有3?tan47.34°=y
- 用計算器算一下
- 3乘以之前求得的tan47.37準確答案
- 3乘以該正切值 等於3.255
- 這一小段距離y等於3.255米
- 問題要求這整段距離
- 整段距離也就是x+y 加3.255
- x是7.92
- 相加也就是7.92加現在的答案Ans
- 結果四捨五入是11.18米
- 這就是我們要求的距離
- 激光筆光線折射後到池塘底的這一點
- 同池塘邊緣之間的距離大概是11.18米
- 但願以上內容對你有用 題目比較複雜
- 其中最麻煩的部分是三角函數
- 意識到 不需要知道這個角
- 因爲其sin值就包含了所需信息
- 你也可以求出角度
- 知道sin 求arcsin就行了
- 但這裡沒有必要 知道該角的sin值
- 使用三角函數知識
- 加上斯涅爾定律 就能求出這個角
- 知道這個角 再通過一些三角運算
- 就能求出這一小段增量距離了
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