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Unit Vector Notation : Expressing a vector as the scaled sum of unit vectors
相關課程
- 下午好 我們已經做了很多關於向量的問題
- 在很多問題中 當我們把某種東西發射
- 抛射運動問題中
- 或者當你們做包含平面的問題
- 我經常給你們一個向量
- 我像這樣畫一個向量
- 我會說 一個物體的速度是10m/s
- 向著30度角的方向
- 然後我可以把它分成x和y分量
- 所以如果我把這個向量叫做v 我要用一個符號
- vx應該是這個向量
- vx應該是下面這個向量
- 這個向量的x分量
- 然後vy應該是這個向量的y分量
- 它應該是這個向量
- 所以這是vx 這是vy 希望到目前爲止
- 怎麽把這些算出來應該是你們的第二天性了
- vx應該是10乘以cos這個角
- 10cos30° 我認爲cos30°等於根3除以2
- 但是我們現在不關心這個
- vy應該是10乘以sin這個角
- 希望這應該是你們的第二天性
- 如果不是 把SOH-CAH-TOA寫下來
- sin30°等於
- 對邊除以斜邊
- 然後可以得到這些
- 但是我們已經複習了這些
- 你們應該複習一下開始的向量影片
- 但是現在我想讓你們做的
- 因爲這對簡單抛射運動問題是很有用的
- 但是一旦我們開始研究更複雜的向量
- 或許我們要研究多維的向量
- 三維向量 或線性代數中
- 當我們用n維向量時 需要一種一致的方法
- 一種解析的方法 而不是一直
- 畫代表向量的圖
- 所以我們要做的是 我們用叫做-
- 我認爲每個人都叫它單位向量
- 所以這是什麽意思？所以我們定義這些單位向量
- 我畫幾個軸 記住它是很重要的
- 這剛開始看起來可能有點令人迷惑
- 但是到目前爲止 這和你們在物理問題中
- 做過的沒什麽不同
- 我把坐標軸畫到這裡 我們設這是1
- 這是0 這是2 0 1 2
- 我不知道是不是一定要寫上阿拉伯數字
- 往後 這是0 1 2 這不是20
- 然後我們設在y方向上 這是1 這是2
- 我要在二維定義單位向量
- 所以我首先定義一個向量
- 我叫這個向量i 就是這個向量
- 它只是沿著x方向 沒有y分量
- 它的大小是1 所以這是i
- 我們通過在上面寫一個
- 小的帽子來表示單位向量
- 有很多標記 有時候在書上
- 你們會看到沒有帽子的i 不過是黑體字
- 還有別的符號 但是如果你們見到i
- 不是在虛數計算中
- 你們就應該發現 這是單位向量
- 它的大小是1 完全在x方向上
- 我要定義另一個向量
- 這一個叫做j
- 它和y是相同的 但是在y方向上
- 這是向量j 在上面畫一個小帽子
- 所以我爲什麽這麽做？
- 如果我處理的是二維的
- 之後 我們會看到三維的
- 所以實際上會有第三維
- 我們把它叫做k 但是現在不要管它
- 但是因爲我們處理的是二維的
- 我們可以把任何向量定義成
- 這兩個向量的和
- 所以爲什麽這可行？這個向量
- 我們把它叫做v 這個向量v
- 是它的x分量加上它的y分量
- 當向量相加
- 你們可以讓它們首尾相接 這就是和
- 所以希望大家明白我們已知的
- 我們知道這個向量v
- 等於它的x分量加上y分量
- 當向量相加
- 實際上只要讓它們首尾相連
- 然後它們的和就是結束的位置
- 如果這些向量相加
- 然後把它的結束點和它的開始點連接起來
- 就到這裡結束 所以到這裡結束
- 所以就是這個向量
- 所以我們可以把vx用i
- 用這個單位向量表示嗎？ 可以
- vx完全向著x方向
- 但是它的大小不是1
- 它的大小是10cos30°
- 所以它的大小是 我們把這個向量畫到這裡
- 這是單位向量
- 它看起來像是這樣的
- 所以vx向著同樣的方向
- 它只是把單位向量延長了
- 它是單位向量的多少倍？
- 單位向量的大小是1
- 這個的大小是10cos30°
- 我認爲這是 5根3
- 所以我們可以把vx寫成
- 我一直換顏色來讓這有趣
- 我們可以把vx寫成等於10cos30°乘以
- 這個角度 乘以單位向量i
- 我們一直用這個顏色 所以你們不會感到迷惑
- 乘以單位向量i 這說得通嗎？
- 單位向量i也向著這個方向
- 但是這個向量的x分量只是更長
- 是10cos30° 這等於
- cos30°等於根3除以2
- 所以這是5根3i 同樣的 我們可以
- 把這個向量的y分量寫成一個數乘以j
- 所以我們可以說vy y分量
- sin30°是多少？sin30°=1/2
- 1/2乘以10 所以這是5
- 所以y分量完全向著y方向
- 所以它只是一個數乘以j
- 乘以單位向量 哪個數乘以它？
- 它的長度是5
- 單位向量的長度是1
- 所以是5乘以單位向量j
- 所以我們可以怎麽表示v？
- 我們知道向量v等於它的x分量
- 和它的y分量之和 所以我們也就知道了
- 這個向量v 它的x分量是多少？
- 它的x分量可以寫成
- x單位向量的倍數 就是這個
- 所以我們可以把它寫成5根3i
- 加上它的y分量 所以它的y分量是多少？
- 它的y分量是y單位向量的倍數
- y單位向量叫做j 上面有個小帽子
- 就是這個 5乘以j
- 所以這就是我們做過的 通過定義單位向量
- 我可以換個顏色來讓你們記住這是i
- 這個單位向量是這個
- 用兩個方向上的單位向量
- 我們最終可以用幾個方向來表示
- 我們可以分解表示任意一個二維向量
- 而不用像以前一樣把它畫下來
- 然後分解成它的分量
- 不必總是用可視化方法來做
- 我們可以用解析方式和不畫圖的方法
- 讓這非常有用的是
- 如果我可以把一個向量寫成這種形式
- 我就可以不用憑借畫圖方法
- 來把它們進行加減
- 我這麽說的意思是什麽？
- 如果我有一個向量a等於
- 我不知道 2i+3j 還有另外一個向量b
- 小箭頭表示它是向量
- 有時候你們要把它畫成整個箭頭
- 我不知道 10i+2j
- 如果我要問 這兩個向量 a+b是多少？
- 在我們用單位向量之前
- 我們要把它們畫出來 然後讓它們首尾相連
- 你們要用畫圖方法
- 這會花費很多時間
- 但是一旦你們學會了把它分成x和y分量
- 你們只要分別把x和y分量相加
- 所以向量a加向量b
- 這就是2+10乘以i加上3+2乘以j
- 這就等於12i+5j
- 你們可能想做一些計算
- 或許我要在將來的影片中講
- 實際上就是把這兩個向量表示出來 然後相加
- 你們就會看到得到了完全相同的結果
- 正如我們在以後的影片 將來的影片中要講的
- 一旦我們開始做更多複雜的物理問題
- 或者開始做帶有計算的物理問題
- 你們就會看到這多麽有用了
- 不管怎樣 我快要超過10分鍾了
- 下個影片再見
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