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Visual Understanding of Centripetal Acceleration Formula : Visual understanding of how centripetal acceleration relates to velocity and radius
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- 假設有某個物體沿此圓周軌迹運動
- 這裡畫出的是不同時間點 沿軌迹的速度向量
- 這裡是速度向量v
- 這是速度向量v
- 這是速度向量v
- 這個影片中我們將假設
- 速度向量大小爲常數 或者說速率爲常數
- 速度向量大小爲常數 或者說速率爲常數
- 我這裡 小寫v上無箭頭的
- 就是純量 稱之爲速率
- 或者稱爲向量的大小
- 這個量保持不變
- 這等於向量v
- 方向顯然改變了 但大小沒有改變
- 等於向量v
- 假設其軌迹是一個半徑爲r的圓
- 我這裡將畫一些位置向量
- 這是位置向量r
- 這是位置向量r
- 位置顯然發生了改變 這是位置向量r
- 這是位置向量r
- 不過位置向量的大小顯然相同
- 我將位置向量的大小記作r
- 也就是圓的半徑
- r等於向量r
- 等於向量r
- 這一節 我將直觀上證明
- 在這個半徑值及速率下 向心加速度的大小
- 記作a
- 上面沒有箭頭 所以它是純量
- 向心加速度的大小
- 等於速率平方除以圓軌迹的半徑
- 等於速率平方除以圓軌迹的半徑
- 這一節結束後 我希望讓你們直觀理解 確實是如此
- 我首先要將這些速度向量重新繪制在另一個圓上
- 我首先要將這些速度向量重新繪制在另一個圓上
- 考慮向量本身如何變化
- 我複製粘貼一下 首先複製粘貼v
- 我複製粘貼一下 首先複製粘貼v
- v
- v
- v
- 這個向量就是v
- 這顯然是v
- v
- 那麽這個圓的半徑是多少呢
- 這個圓的半徑也就是速度向量的大小
- 速度向量的大小也就是純量v
- 因此這個圓的半徑是v
- 而這個圓的半徑我們已經知道是r
- 速度向量能給出位置向量隨時間變化的量
- 那麽什麽向量能給出速度向量隨時間變化的量呢
- 這也正是加速度向量
- 因此這裡有a
- 然後是a
- 但願你們能看懂這裡的相似之處
- 沿圓周運動時 位置向量首先指向左側
- 然後左上 類似11點鍾方向 然後向上
- 這就像時鍾的指針一樣
- 位置向量像指針一樣隨時間轉動 這是因爲有速度向量
- 位置向量像指針一樣隨時間轉動 這是因爲有速度向量
- 而這裡 速度向量像指針一樣轉動
- 讓其轉動的是加速度向量
- 這裡速度向量與圓相切 並垂直於半徑
- 這裡速度向量與圓相切 並垂直於半徑
- 這裡速度向量與圓相切 並垂直於半徑
- 這是幾何知識
- 與圓相切的直線 垂直於該圓的半徑
- 這裡也是一樣的情況
- 回到我們所學過的
- 我們學過向心加速度的直觀理解
- a
- a
- a
- a
- 所有這些加速度都是指向中心的向量
- 因此這些才被稱作向心加速度向量
- 這裡我們只考慮其大小
- 假設所有這些大小相等 向心加速度大小總是a
- 假設所有這些大小相等 向心加速度大小總是a
- 假設所有這些大小相等 向心加速度大小總是a
- 它等於向量a
- 等於向量a
- 現在我想知道 從圓上這裡到這裡需要多久
- 現在我想知道 從圓上這裡到這裡需要多久
- 可以考慮 駛過的圓弧長度是多少
- 這段弧長是圓周的1/4
- 是1/4的圓周長
- 周長是2πr 這裡乘以1/4
- 因此弧長就是這個
- 走這麽遠需要多久呢
- 這需要用路徑長度除以實際速率
- 導致沿該路徑前進的速率
- 除以速度大小 或者說速率
- 這是速度的大小 不是速度
- 這不是向量 而是純量
- 這裡求的是沿路徑行駛這麽遠所需的時間
- 沿這段路徑行駛所需的時間
- 等於沿這段路徑行駛所需的時間
- 這裡是對速度向量
- 原來是位置向量的變動
- 而現在是速度向量的變動
- 所以這兩個表達式可以劃等號
- 也就是(1/4)2πr/v=(1/4)2πv/加速度向量的大小
- 化簡 兩側的1/4約掉
- 兩側的2π約掉
- 於是有r/v=v/向心加速度大小
- 然後交叉相乘
- v乘以v是v
- v乘以v是v
- 交叉相乘也就是方程兩側同時乘以兩側分母
- 交叉相乘也就是方程兩側同時乘以兩側分母
- 兩側同時乘以v和a
- 兩側同時乘以v和a
- 乘的過程中 左邊v約掉了
- 右邊a
- 要求向心加速度大小的表達式
- 只需要兩側同時除以r
- 我想就快大功告成了
- 左側是向心加速度的大小
- 它等於常數速度大小或者說速率的平方
- 除以圓的半徑 證明完畢