科目
複變數函數論｜數學系 程守慶
關於
Basically we shall cover the following topics. (1) Cauchy-Riemann equation，Cauchy theorem for holomorphic functions, (2) Cauchy integral formula, (3) Maximum modulus Principle, (4) Laurent series,meromorphic functions, (5) Calculus of residues, (6) Harmonic functions of two real variables, (7) Conformal mappings, Riemann mapping theorem.《keywords：複變數函數論Complex Analysis, ☑️解析函數holomorphic function, ☑️柯西積分公式Cauchy integral formula, ☑️最大模數原則maximum modulus principle, ☑️調和函數harmonic function, ☑️保角映射conformal mapping》
數理化學群
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第1R講 解析函數
第2R講 柯西定理和柯西積分公式
第3R講 冪級數展開、Liouville定理、代數基本定理、解析函數的零點
第4R講 解析函數的零點、恆等定理、單複變和多複變的差異、Morera定理、Schwarz反射原理、奇異點
第5R講 平均值定理、最大模原理、擴充複平面、黎曼定理、極點、亞純函數、本質奇異點、皮卡小定理
第6R講Casorati-Weierstrass定理、皮卡定理、留數的定義和計算
第7R講 利用路徑積分和留數定理計算實數軸上的積分
第8R講 路徑積分例題、Sohotsky (or Plemelj) 公式
第9R講 對數函數、複數的複數次方、路徑積分例題
第10R講 檢討第一次期中考、H. Cartan定理、Schwarz引理
第11R講 Laurent級數、輻角原理、Rouché定理、Hurwitz定理
第12R講 Hurwitz定理、開映射定理、一對一函數的行為、Darboux-Picard定理
第13R講 一對一函數、Darboux-Picard定理、最大模原理的推廣
第14R講 Carathéodory定理、調和函數、調和共軛
第15R講 調和函數的平均值定理和最大值原理、平均值性質、Dirichlet問題、Poisson積分公式
第16R講 Poisson積分於Dirichlet問題的應用、調和函數的平均值性質、調和函數的可去奇異點定理
第17R講 Dirichlet問題的例題、Harnack定理、Harnack不等式、調和函數的Schwarz反射原理、解析同構
第18R講 保角映射、自同構群
第19R講 單位圓盤的自同構群、複平面的自同構群、環帶間的解析同構
第20R講 檢討第二次期中考
第21R講 環帶的自同構群、黎曼映射定理、正規函數族、等度連續、Arzelà-Ascoli定理
第22R講 Arzelà-Ascoli定理、Montel定理、Vitali定理
第23R講 黎曼映射定理、Carathéodory定理、單連通域上的Dirichlet問題
第24R講 單複變和多複變的差異、Poincaré定理、線性分式變換 (莫比烏斯變換)
第25R講 線性分式變換 (莫比烏斯變換)、交比、黎曼球上的自同構
第26R講 交比的幾何意義
第27R講 線性分式變換保持對稱、尋找特定區域間的解析同構
第28R講 廣義圓的方向、線性分式變換將實軸送到實軸的充要條件、上半平面的自同構群
第29R講 檢討期末考
